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相关试卷

1、已知直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，过点 $O$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E (2, 1)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(1, 0)$

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3、若 $\frac{1}{z - 1} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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4、已知集合 $A = {x |x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {- 2, 0, 1, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 3}$ D、 ${- 2, 0, 1, 3}$

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5、若一个集合含有 $n$ 个元素（ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ），且这 $n$ 个元素之和等于这 $n$ 个元素之积，则称该集合为 $n$ 元“完美集”.

(1)、写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）；

(2)、求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；

(3)、记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数.若集合 $A$ 是元素均为正整数的“完美集”，求 $|A|$ 的最大值.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x - 1} + a}$ 的图象过点 $(2, \frac{4}{3}) .$

(1)、求 $a$ 的值，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并根据定义证明；

(2)、证明： $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称；

(3)、任取 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，恒有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) - m^{2} + m > 0$ 成立，求实数m的取值范围.

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7、某地区上年度电价为0.8元/（ $kW \cdot h$ ），年用电量为 $a kW \cdot h$ ，本年度计划将电价下降到0.55元/（ $kW \cdot h$ ）至0.7元/（ $kW \cdot h$ ）之间，而用户期望电价为0.4元/（ $kW \cdot h$ ）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 $k$ ）.该地区的电力成本价为0.3元/（ $kW \cdot h$ ）.

(1)、写出本年度电价下调后电力部门的收益 $y$ （单价：元）关于实际电价 $x$ （单位：元/（ $kW \cdot h$ ））的函数解析式；（收益=实际电量 $\times$ （实际电价-成本价））

(2)、设 $k = 0.2 a$ ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20 %$ ？

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x - 3$ ，且满足 $f (x) = f (2 - x)$

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求函数 $y = f ({log}_{2} x)$ 的零点；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a x - 2 a - 3 (a \in R)$ .

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9、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 3, 4)$ .

(1)、求 $\frac{cos (α + \frac{3 π}{2}) + sin (\frac{π}{2} + α)}{sin (2 π - α) - cos (π - α)}$ 的值；

(2)、若角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 得到角 $β$ ，求 $\cos β$

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10、方程 $sin x = cos 2 x$ 在 $[0, 3 π]$ 上的实数解之和为.

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11、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \leq k, \\ x^{2} - x, x > k, \end{array}$ 在 $R$ 上是增函数，则实数k的取值范围是.

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12、求值： $\sqrt[3]{{(- 8)}^{2}} - 2 \times {(\frac{1}{3})}^{0} =$ ； ${(\frac{25}{9})}^{- \frac{1}{2}} - lg \sqrt[5]{100} =$ .

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13、“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为 $f (x, y)$ .已知关于实数 $x, y$ 的二元函数 $f (x, y) = (x + 1) y$ ，则（）

A、 $f (1, 5) = f (5, 1)$ B、 $\forall x > 0, y > 0, f (x, y) f (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}) \geq 4$ C、 $\forall x \in R, f (2 x, x - a) \geq - a - 2,$ 则实数 $a$ 的取值范围是 $[- \frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ D、 $\exists x \geq 2, f (2 x, x - a) \leq - a - 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $[3, + \infty)$

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14、已知函数 $f (x) = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}),$ 则（）

A、 $\forall x \in R, f (x + 2 π) = f (x)$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集是 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + π), k \in Z$ D、曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(2 k π - \frac{2 π}{3}, 0) k \in Z$

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15、已知 $α \in (0, π), sin α + cos α = m$ ，则（）

A、若 $m = 1$ ，则 $cos α = 0$ B、若 $m = \frac{1}{5}$ ，则 $cos α = - \frac{3}{5}$ C、若 $m = \frac{1}{2}$ ，则 $sin α - cos α = \frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $m \in (- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

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16、已知函数 $f (x) = |\ln (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x)|$ ，设 $a = f (- \frac{1}{2})$ ， $b = f (sin \frac{1}{2})$ ， $c = f (cos \frac{1}{2})$ 则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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17、酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定： $100 mL$ 血液中酒精含量达到 $20 ~ 79 mg$ 的驾驶员即为酒后驾车， $80 mg$ 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $1.2 mg / mL$ .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时19%的速度减少，那么他至少经过（）小时才能驾驶？
（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

A、7 B、8 C、9 D、10

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18、已知 $p : \sqrt{1 - sin 2 x} = sin x - cos x$ ， q：角x为第二象限角，则p是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知 $tan α = - 2$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、± $\frac{4}{5}$

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20、化简 $\frac{1 - \tan 15^{\circ}}{1 + \tan 15^{\circ}}$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、1

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