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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $φ \in (0, \frac{π}{2})$ .
条件①：函数 $f (x)$ 图象相邻的两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称；
条件③：函数 $f (x)$ 图象关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称.
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：

(1)、函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、函数 $f (x)$ 在单调递增区间；

(3)、函数 $f (x)$ 的图象可否由函数 $y = \sin x$ 的图象经过图象变换得到？如果可以，请设计一系列的图象变换过程，如果不可以，请说明理由.
注：如果选择不同条件组合分别解答，按第一个解答计分.

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2、已知函数 $f (x) = x + a + \frac{1}{x + b}$ ， $a$ ， $b \in R$ .

(1)、当 $a = b = 0$ 时，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、当 $a = 1$ 且 $b = 0$ 时，利用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、求证：当 $a = 0$ 且 $b > 2$ 时，方程 $f (x) = 0$ 在 $(1 - b, 0)$ 内有实数解.

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边为 $x$ 轴的非负半轴.第一象限角 $α$ 的终边与单位圆交于 $A (\frac{3}{5}, m)$ ，第二象限角 $β$ 的终边与单位圆交于 $B (n, \frac{5}{13})$ .

(1)、求 $\tan α \cdot \tan β$ 的值；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积.（梯形的面积公式 $S = \frac{(上底长 + 下底长)}{2} \times 高$ ）

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4、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 8 x + 15 \leq 0\}$ ， $B = \{x |3 m - 2 < x < 2 m + 2\}$ .

(1)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若将题干中的集合 $B$ 改为 $B = \{x |2 m + 1 \leq x \leq 3 m - 2\}$ ，是否有可能使命题 $p$ ：“ $\forall x \in A$ ，都有 $x \in B$ ”为真命题，请说明理由.

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5、函数 $f (x) = 1 - 2 \cos x, x \in (t, t + π), t \in R$ ，关于函数 $g (x) = f (x) - 2$ 的零点情况有下列说法：
①当 $t$ 取某些值时，无零点； ②当 $t$ 取某些值时，恰有1个零点；
③当 $t$ 取某些值时，恰有2个不同的零点； ④当 $t$ 取某些值时，恰有3个不同的零点.
则正确说法的全部序号为.

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6、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (1, 0)$ ， $B (- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ ，角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆 $O$ 交于点 $P$ ，则阴影区域的面积的最大值为.

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7、在 $△ A B C$ 中，写出不满足命题“若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $∠ A = ∠ B$ ”的一组 $∠ A$ 、 $∠ B$ 的值为 $∠ A =$ ， $∠ B =$ .

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8、命题 $P$ ：“ $\forall x \in R$ ， $\frac{1}{e^{x}} - a > 0$ ”的否定形式为；若 $P$ 为真命题，则实数 $a$ 的最大值为.

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9、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + ln (x^{2})$ 的定义域是.

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10、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x, \sin x \geq \cos x \\ - x, \sin x < \cos x \end{array}$ 中， $P$ ， $M$ 为实数集 $R$ 的两个非空子集，又规定 $f (P) = \{y |y = f (x), x \in P\}$ ， $f (M) = \{y |y = f (x), x \in M\}$ ，给出下列四个判断：
①函数 $f (x)$ 有奇偶性；
②函数 $f (x)$ 为周期函数；
③存在无数条直线，与函数 $f (x)$ 的图象无公共点；
④若 $P \cap M = \emptyset$ ，则 $f (P) \cap f (M) = \emptyset$ ；
⑤若 $P \cup M = R$ ，则 $f (P) \cup f (M) = R$ .
其中正确判断的个数为（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，且其图象经过点 $(1, 3)$ ，则不等式 $|f (2 x - 1)| < 3$ 的解集为（　　）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(0, 1)$

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} - 2 x, x \leq 0, \\ |{log}_{\frac{1}{3}} x|, x > 0. \end{matrix}$ 已知 $a < b < c < d$ ，且 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $f (c d (a + b)) =$ （　　）

A、1 B、0 C、2 D、 $- 1$

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13、若 $α \in (0, π)$ ，且 $\sin α - \cos α \in (0, 1)$ ，则 $tan α \in$ （　　）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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14、把长为 $8 cm$ 的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　）

A、 $4 {cm}^{2}$ B、 $3 {cm}^{2}$ C、 $2 \sqrt{2} {cm}^{2}$ D、 $2 {cm}^{2}$

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15、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, 1)$ 上单调递增的是（　　）

A、 $y = - {|x|}^{3}$ B、 $y = sin |x|$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = ||x| - 1|$

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16、若 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $cos (α + π) = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos α =$ （　　）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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17、已知集合 $A = {x \in R | 0 \leq x \leq 3}, B = {x \in N | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${x \in R | - 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x \in R | 0 \leq x < 1}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1\}$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(1)、将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ)$ 的形式，并求出函数的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若方程 $2 g (x) - m = 1$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $\tan (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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19、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\cos x, \sqrt{3})$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最值．

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20、已知 $f (α) = \frac{\sin (π + α) \cos (2 π - α) \tan (2 π - α)}{\tan (- α - π) \cos (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ．
（1）化简： $f (α)$ ；
（2）在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若 $c = 2$ ， $f (C) = - \frac{1}{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求a、b的值．

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