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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且 $f (0) > 0$ ， $f (1) > 0$ ， $f (2) > 0$ ， $f (3) < 0$ ， $f (4) < 0$ ，则在下列区间中，一定包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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2、函数 $f (x) = tan \frac{π}{8} x$ 的最小正周期为（）

A、16 B、8 C、 $16 π$ D、 $8 π$

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3、已知全集 $U = \{- 8, - 3, 3, 5\}$ ，集合 $A = \{- 3, 5\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 8\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{- 3, 3\}$ D、 $\{- 8, 3\}$

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4、下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x | x |$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $sin C + \sqrt{3} cos C = \frac{\sqrt{3} a}{b}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 2, b = \sqrt{3}, ∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，求 $B D$ .

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6、阅读材料：北京奥林匹克体育场（如图1），俗称“鸟巢”，其外形是以众多钢铁线条“编织”而成的.
从空中向下俯视，其外围形状大致为两个椭圆，大椭圆的弦是小椭圆的切线（如图2），那些编织“鸟巢”的“枝条”，甚至看上去好像是直线把椭圆“包裹”出来的，数学上称这种情况为直线族的包络.下面我们来讨论小椭圆是如何被“包裹”出来的.建立平面直角坐标系，设大椭圆的标准方程为： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，
在这个大椭圆上“均匀”地取 $n$ 个点，这些点的坐标可以记为 $P_{k} (a cos (\frac{2 π}{n} \cdot k), b sin (\frac{2 π}{n} \cdot k)), k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ 大椭圆上的这 $n$ 个点可以通过一族直线（一共有 $n$ 条）.确定直线的方法如下：先取第一个点 $P_{0}$ ，第二个点 $P_{d}$ （这个点也可以看作为 $P_{0}$ 绕着椭圆中心逆时针转动一个角度 $θ$ 后得到的），由点 $P_{0}, P_{d}$ 可得到直线 $P_{0} P_{d}$ .以此类推就可以得到一系列的直线： $P_{1} P_{d + 1}$ ， $P_{2} P_{d + 2}, \dots, P_{n - 1} P_{d + n - 1}$ ，这 $n$ 条直线就形成一个直线族，这个直线族的包络线就构成一个小椭圆，直线族中每条直线都与小椭圆相切.
结合阅读材料，回答下面的问题：

(1)、若 $P_{0}$ 坐标为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，大椭圆的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，求大椭圆的方程

(2)、（i）直线族构成的包络线小椭圆 $C$ 与直线族的条数 $n$ 无关，但 $n$ 越大，小椭圆 $C$ 的形状越清晰.若在满足（1）的大椭圆上取 $n = 8$ 个点形成的直线族 $P_{0} P_{2}, P_{1} P_{3}, P_{2} P_{4}, P_{3} P_{5}, P_{4} P_{6}, P_{5} P_{7}, P_{6} P_{0}, P_{7} P_{1}$ ，中，求出直线 $P_{1} P_{3}$ 方程，并求出该直线族构成的包络线小椭圆 $C$ 标准方程.
（ii）若直线族中有 $l_{1} : y = - \frac{1}{2} x + m (m > 0)$ 与小椭圆 $C$ 切于点 $P$ ，另一条直线 $l_{2} : y = \frac{1}{2} x + n$ 与小椭圆 $C$ 分别交于 $A, B$ （异于点 $P$ ），与 $l_{1}$ 交于点 $Q$ ，求证： $|A Q|, |P Q|, |B Q|$ 成等比数列.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，若 $∠ A B C = \frac{π}{4}, P A = A B = 2, E, F$ 分别为 $△ P A B, △ P C D$ 的重心.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P D ⊥ A C$ ，在线段 $P B$ 上存在一点 $M$ ，使得 $P M = λ P B$ ，且平面 $M A D$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $λ$ 的值.

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8、数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线 $P A, P B$ （其中 $A, B$ 为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，双曲线 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过蒙日圆上一点 $P$ 作双曲线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，与该蒙日圆分别交于 $M, N$ 两点，若 $∠ P M N = 30^{\circ}$ ，求 $△ P M N$ 的周长.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (2 p, m) (m > 0)$ 是 $C$ 上的一点，且 $|M F| = 5$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ ，与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 16$ ，求直线 $l$ 的倾斜角.

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1, a_{5} = 9 a_{3}, a_{2} = 9$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ，求 $\{\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11、已知圆 $A : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r^{2}, P (x, y)$ 在圆 $A$ 上运动，点 $B (2, 0)$ ，线段 $P B$ 的垂直平分线 $l$ 与直线 $A P$ 相交于点 $C$ .当 $r = 6$ 时，点 $C$ 轨迹的标准方程为；当 $r = 2$ 时，点 $C$ 轨迹的标准方程为.

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12、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0), A, B$ 为双曲线的左，右顶点，若点 $P$ 在双曲线上，且 $∠ P A B = 30^{\circ}, |P B| = |A B|$ ，则双曲线的渐近线方程是.

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13、我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是．

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14、定义两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的运算“ $\otimes$ ” $: \vec{a} \otimes \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| sin θ$ 与运算“ $\cdot$ ”： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos θ$ ，其中 $θ$ 是 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角.若 $|\vec{x}| = 2, |\vec{y}| = 5, \vec{x} \cdot \vec{y} = 6$ ，则 $\vec{x} \otimes \vec{y} =$ .

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15、过圆 $C : x^{2} + y^{2} - x + 2 y = 0$ 的圆心且与直线 $l : x - y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为.

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16、已知圆 $C_{1} : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4 a$ 的半径为2，则下列命题是真命题的是（）

A、 $a = 1$ B、圆 $C_{2} : {(x - 9)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 64$ 与圆 $C_{1}$ 外切 C、若直线 $m x + y - 2 = 0$ 平分圆 $C_{1}$ 的周长，则 $m = - 1$ D、圆 $C_{3} : x^{2} + y^{2} - x - y - 1 = 0$ 与圆 $C_{1}$ 的公共弦所在直线方程为 $x + y + 1 = 0$

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17、阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $2 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $B$ 是点 $A$ 关于原点的对称点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长为8，则四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、2

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18、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 1, a_{1} - a_{3} = - 3$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、4 B、 $- 8$ C、 $- 5$ D、8

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19、已知点 $(x_{0}, y_{0})$ 为直线 $x + 2 y + 6 = 0$ 上任意一点，则 $\sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + {(y_{0} - 1)}^{2}}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$

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20、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一个基底，若向量 $\vec{p} = 4 \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c}$ ，且向量 $\vec{i} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{j} = \vec{a} - \vec{b}, \vec{k} = \vec{c}$ ，则用基底 $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ 表示向量 $\vec{p}$ 为（）

A、 $\vec{p} = 3 \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}$ B、 $\vec{p} = 3 \vec{i} + 3 \vec{j} + \vec{k}$ C、 $\vec{p} = \vec{i} + 3 \vec{j} + 3 \vec{k}$ D、 $\vec{p} = \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}$

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