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相关试卷

1、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = S_{n} - n + 3$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{1} = 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{S_{n} - n + 2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} ⩽ T_{n} < \frac{4}{3} (n \in N^{*})$ .

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2、双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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3、已知公比不为 $\pm 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，存在 $s, t \in N^{*}$ ，满足 $a_{s} a_{t} = a_{5}^{2}$ ，则 $\frac{4}{s} + \frac{1}{t}$ 的最小值为．

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4、已知随机变量 $X ~ N (1, 2^{2})$ ，则 $D (2 X + 1)$ 的值为.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，当且仅当 $n = 7$ 时， $S_{n}$ 取得最大值.记数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前k项和为 $T_{k}$ ，（）

A、若 $S_{6} = S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 13$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 B、若 $S_{6} < S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 14$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 C、若 $S_{6} > S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 15$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 D、若 $\exists m \in N^{*}$ ， $S_{m} = 0$ ，则当 $k = 13$ 或14时， $T_{k}$ 取得最大值

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6、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2}), x = - \frac{π}{4}$ 为 $f (x)$ 的零点， $x = \frac{π}{4}$ 为 $y = f (x)$ 图象的对称轴，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{18}, \frac{5 π}{36})$ 单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、13 B、11 C、9 D、7

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设甲： $d > 0$ ；乙： $\{S_{n}\}$ 是递增数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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8、已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ， $\tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = - \frac{1}{7}$ ，则 $2 α - β =$ （）

A、 $\frac{5π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $- \frac{3π}{4}$

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9、已知向量 $\vec{A B} = (9, x)$ ， $\vec{C D} = (x, 1)$ ，若 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 同向共线，则 $x =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 3$ 或3 D、0或3

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10、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a b} = 2 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ，则（）

A、 $a + b$ 的最小值为 $1 + \sqrt{3}$ B、 $a b$ 的最小值为 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $b > \frac{1}{2}$ D、 $a + 2 b$ 的最小值为 $\frac{3}{2} + \sqrt{6}$

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11、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, G$ 分别是 $C_{1} D_{1},$ $D_{1} D$ 的中点，则直线 $C E$ 与直线 $A G$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12、“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且 $P Q / / O A$ ．

(1)、求扇形空地AOB的周长和面积；

(2)、当 $O Q = 50$ 米时，求PQ的长；

(3)、综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区 $△ O P Q$ 的面积尽可能的大．设 $∠ A O P = θ$ ，求 $△ O P Q$ 面积的最大值．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD， $P D = λ C D$ ，点E在棱PC上．

(1)、若底面ABCD是边长为2的正方形， $P A / /$ 平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由；

(2)、若底面ABCD是梯形，且 $A B / / C D, A B = \frac{1}{2} C D$ ，点E是PC的中点（图2），证明 $B E / /$ 平面PAD；

(3)、在（1）的条件下是否存在实数 $λ$ ，使三棱锥 $E - B P D$ 体积为 $\frac{4}{3}$ ，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由；

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14、材料1．《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下：
如图1，圆锥的底面直径和高均为a，过PO上一点 $O_{1}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底的面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．我们称圆柱为圆锥的内接圆柱．
材料2：如图2，底面直径和高均为 $6cm$ 的圆锥有一个底面半径为R，高为H的内接圆柱．根据材料1与材料2完成下列问题．

(1)、求R与H的关系式；

(2)、求圆柱侧面积的最大值；

(3)、当高PO的长为 $6 \sqrt{2} cm$ ，直径为 $6cm$ 的情况下，底面一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，

(1)、若 $a = 2, c = \sqrt{6}, C = \frac{π}{3}$ ，解三角形：

(2)、若角 $C = \frac{π}{3}$ 且 $a + b = 7, △ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
①求 $△ A B C$ 的面积；
②求 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的高 $h$ ．

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16、已知： $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(3)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $m \vec{a} + 4 \vec{b}$ 垂直，求实数m的值．

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17、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2, B C = 1, ∠ C = 60 °$ ，则 $|\vec{C A} + \vec{C B}| =$ ；若点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且满足 $P C = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是．

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18、湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形 $A B C D$ 区域建一处湿地公园．已知 $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ D B A = 45 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D B C = 60 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ 千米，则 $C D =$ 千米．

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = 4$ ， E是棱 $B B_{1}$ 上的一点，点F在棱 $D D_{1}$ 上，则下列结论正确的是（）

A、若 $A_{1}$ ， C，E，F四点共面，则 $B E = D F$ B、存在点E，使得 $B D / /$ 平面 $A_{1} C E$ C、若 $A_{1}$ ， C，E，F四点共面，则四棱锥 $C_{1} - A_{1} E C F$ 的体积为定值 D、若 $A_{1}$ ， C，E，F四点共面，则四边形 $A_{1} E C F$ 的面积为定值

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E ､ F$ 分别是棱 $A A_{1} ､ A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面 $A B C D$ 内（包括边界）的一动点，若直线 $D_{1} P$ 与平面 $B E F$ 无公共点，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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