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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, D, E$ 分别为边 $B C$ 上的点，已知 $a = 3$ ，且 $\sqrt{3} \sin B + 3 \cos B = c$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $b + c = 5$ ，求线段 $A D$ 的长度；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $E$ 为 $B C$ 中点，求线段 $A E$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{6} \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin^{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，关于 $x$ 的不等式 $m f (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) + f (x + \frac{π}{6}) \geq 4 \sqrt{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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3、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，点 $M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，

(1)、若 $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ ，证明 $M N //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2$ ，求正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积．

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4、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \cos θ, \sin θ), \vec{b} = (1, - 2)$ ，

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $3 \sin^{2} θ + \cos^{2} θ$ 的值；

(2)、若 $θ = 150^{°}$ ，且 $(t \vec{a} + \vec{b}) // (2 \vec{a} - 3 \vec{b})$ ，求 $t$ 的值．

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5、已知圆台的上下底面半径分别为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, 2 \sqrt{3}$ ，侧面积为 $\frac{70}{3} π$ ，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为．

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6、在复数范围内分解因式： $x^{2} - 2 x + 2 =$ .

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.（用坐标表示）

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8、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为线段BC上的点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，过点 $D$ 的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = μ \vec{A C}, (λ > 0, μ > 0)$ ，则（）

A、 $3 λ + μ = 4 λ μ$ B、 $λ μ$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ C、 $λ + μ$ 的最小值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $λ + μ$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、已知空间中有直线 $a, b, c,$ 有平面 $α, β, γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $c ⊥ b$ ，则 $a // c$ B、若 $a // γ$ ， $b // γ$ ，则 $a // b$ C、若 $α \cap β = a, b \subset α, c \subset β$ ，且 $b // c$ ，则 $a // b // c$ D、若 $α // β$ ， $β // γ$ ，则 $α // γ$

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10、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、内心 C、垂心 D、外心

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11、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $1 \leq | z + 1 + 2 i | \leq 2$ ，则 $| z - 2 + 3 i |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{10} + 2$ B、 $\sqrt{10} - 2$ C、 $\sqrt{10} + 1$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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12、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 3, A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 和 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{23}{50}$ B、 $\frac{23}{50}$ C、 $- \frac{32}{25}$ D、 $\frac{32}{25}$

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13、 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 对应的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，解下列三角形，只有一解的时（）

A、 $B = 30^{°}, c = 4, b = 3$ B、 $B = 60^{°}, c = 4, b = 3.5$ C、 $C = 45^{°}, a = 2, c = \sqrt{3}$ D、 $C = 30^{°}, a = 3, c = 2 \sqrt{3}$

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14、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，且 $\vec{F D} = 2 \vec{A F}, \vec{B G} = 2 \vec{G C}$ ，设 $\vec{E F} = \vec{a}, \vec{E G} = \vec{b}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{E D} = \frac{4}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{E D} = \frac{4}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{E D} = \frac{5}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{E D} = \frac{5}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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15、若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2, |\vec{c}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、2 B、8 C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、2或8

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16、 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知 $i$ 为虚数单位，计算 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2024} =$ （）

A、 $i$ B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $1$

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18、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $I$ ， $D \subseteq I$ ，若 $\forall x \in D$ ， $\exists t \in D$ ，当 $x < t$ 时，都有 $f (x) < f (t)$ ．则称 $t$ 为 $f (x)$ 在 $D$ 上的“Ω点”．

(1)、设函数 $f (x) = (2 + a x) \ln (1 + x) - 2 x$ ．
（i）当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上的最大“Ω点”；
（ii）若 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上不存在“Ω点”，求a的取值范围；

(2)、设 $D = \{1, 2, \dots, m\} (m \in N^{*})$ ，且 $f (1) = 0$ ， $f (x) - f (x - 1) \leq 1$ ．证明： $f (x)$ 在D上的“Ω点”个数不小于 $f (m)$ ．

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19、在平面直角坐标系中，已知 $О$ 为坐标原点，点 $W (x_{n}, y_{n})$ 为直线 $l$ ： $y = k x + m (k m \neq 0)$ 与椭圆 $C$ ： $2 n x^{2} + 4 n y^{2} = 1$ 的一个交点，且 $k = - \frac{x_{n}}{2 y_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ .
（1）证明：直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切；
（2）已知直线 $l$ 与椭圆 $D$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $W$ 为 $A B$ 的中点.
（i）证明：椭圆 $D$ 的离心率为定值；
（ii）记 $△ O A B$ 的面积为 $S$ ，若 $b^{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{4 n}$ ，证明： $2 n \cdot \sin (S^{2}) > 1$ .

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20、袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．

(1)、求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；

(2)、若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分 $X$ 的分布列和数学期望．

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