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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上，则下列结论中错误的结论（）

A、 $M N$ 的最小值为2 B、四面体 $N M B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、存在点 $M, N$ ，使 $△ M B N$ 为等边三角形

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2、布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数 $f (x)$ ，若其定义域中存在一个 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称 $x_{0}$ 为该函数的一个“不动点”．现新定义：若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = - x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“次不动点”．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} - 6$ 是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = 2 x \sin x$ ，若非零实数a是 $g (x)$ 在 $x \in (- 1, 1)$ 内的次不动点，求a的值；

(3)、若函数 $h (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4^{x} - b \cdot 2^{x})$ 在 $[0, 1]$ 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．

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3、函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $α \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ ， $f (α) = \frac{2}{3}$ ，求 $f (α + \frac{π}{6})$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = m x^{2} - (m + 2) x + 2$ ， $m \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq 0$ ．

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5、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ．

(1)、求xy的最大值；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值．

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6、如图，平行于 $y$ 轴的直线分别与函数 $y_{1} = \log_{2} x$ 及 $y_{2} = \log_{2} x + 2$ 的图像交于点 $B$ 和 $C$ ，点 $A (m, n)$ 为函数 $y_{2}$ 图像上一点．若 $△ A B C$ 为正三角形，则 $2^{n} =$ ．

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7、已知 $\sin 2 α = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 是幂函数，且该函数是奇函数，则 $m$ 的值是．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，对称中心是 $(1, 0)$ ，且满足 $f (x + 1) = f (3 - x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (3) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x + 1) - f (x - 1) = 0$ D、若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + f (x + 3) = 2$ ，则 $g (1) + g (2) + \dots + g (2024) = 2024$

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10、下列计算或化简结果正确的是（）

A、若 $\sin α \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan α + \frac{\cos α}{\sin α} = 2$ B、若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 \sin α}{\cos α - \sin α} = 2$ C、若 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α = 2$ D、若 $α$ 为第二象限角，则 $\frac{\cos α}{\sqrt{1 - \sin^{2} α}} + \frac{\sin α}{\sqrt{1 - \cos^{2} α}} = 0$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $f (x)$ 的值域是R C、 $f (x + 1)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ ， $(1, + \infty)$ 上单调递减

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12、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 恰有三个最值点和两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$ B、 $[\frac{7}{4}, \frac{13}{4})$ C、 $(\frac{9}{4}, \frac{11}{4}]$ D、 $(\frac{9}{4}, \frac{13}{4}]$

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13、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增，且 $f (3) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (1, 3)$ B、 $(- 3, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $[- 3, 0) \cup (1, 3]$ D、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$

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14、标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有 $3^{361}$ 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，研究过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 $10000^{52}$ ，下列数据最接近 $\frac{10000^{52}}{3^{361}}$ 的是（）
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ）

A、 $10^{34}$ B、 $10^{35}$ C、 $10^{36}$ D、 $10^{37}$

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15、 $\sin (- 1395 °) \cos 30 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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16、已知函数 $f (x) (x \in I)$ ， “ $\forall x \in I$ ， $f (x) \leq 2024$ ”是“ $f (x)$ 最大值为2024”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知扇形的面积为6 ${cm}^{2}$ ，圆心角为3 rad，则此扇形的周长为（）

A、2 cm B、6 cm C、10 cm D、12 cm

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18、已知函数 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{6} - 2 x) + a, a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ，求 $a$ 的值.

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19、（1）已知 $2^{a} = 12^{b} = 36$ ，求 $10^{lg 8^{\frac{2}{3}}} \times (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ 的值；
（2）已知实数 $a, b$ 满足 $a > b > 1, a + b = 5$ ，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值.

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20、已知符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，函数 $f (x) = \frac{[x]}{x} (x \neq 0)$ ，若方程 $f (x) = a$ 有且仅有3个根，则 $a$ 的取值范围是.

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