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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f (x - 1) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + 4)$ B、 $f ({log}_{3} 5) > f ({log}_{5} 8)$ C、当 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = 1 - 2^{x - 2}$ D、方程 $∣ f (x) ∣ - lg x = 0$ 恰有10个解

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2、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为 $H (t)$ （单位：m），下述结论正确的是（）

A、 $H (t) = - 55 cos \frac{π}{15} t + 65$ B、甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m C、在运行一周的过程中， $H (t) > 90$ 的时间超过10min D、游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等

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3、已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则下列关系式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a + b > 4$ C、 $a b < 4$ D、 $a^{2} + b^{2} > 8$

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} + lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ，若 $f (3 cos 2 θ) + f (7 sin θ - 5) > 0$ ，则 $cos 2 θ$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, \frac{7}{9})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{9}, \frac{1}{2})$

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5、已知 $a > 0, b \in R$ ，若关于x的不等式 $(a x - 2) (x^{2} + b x - 6) \geq 0$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $4 a - b$ 的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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6、已知 $α \in (0,π), β \in (0,π), sin (α + β) = 2 cos (α - β), tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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7、函数 $f (x) = \frac{2 cos 2 x - 1}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8、用二分法求方程 $\sqrt{x} - 3^{- x} = 0$ 的近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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9、已知角α的终边过点 $(4, - 3)$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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10、已知命题“ $\exists x \in R, x^{2} - 4 x - a - 1 < 0$ ”为假命题，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 5)$ B、 $(- 5, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 5]$ D、 $[- 5, + \infty)$

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11、已知 $a \in R$ ，若集合 ${a, - a, 0} = \{c, a^{2}, a\}$ ，则 $a =$ （）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ，请你根据上面探究结果，计算 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{2}{2021}) + f (\frac{3}{2021}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2020}{2021}) =$ （）

A、1010 B、2020 C、2023 D、2024

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13、设函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、证明： $f (x)$ 有且仅有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 0$ ．

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14、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴长为4，过椭圆右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直时，在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$ （异于点 $F$ ），使 $x$ 轴上任意点到直线 $P A$ ， $P B$ 的距离均相等？若存在，求 $P$ 点坐标：若不存在，请说明理由.

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15、一只蚂蚁位于数轴 $x = 0$ 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向左移动的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在 $x = 0$ 处的概率；

(2)、记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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16、已知点 $(1, \frac{1}{3})$ 是函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象上一点，等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $f (n) - c$ ，数列 $\{b_{n}\} (b_{n} > 0)$ 的首项为 $c$ ，且前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} - S_{n - 1} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)$ ．
(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
(2)若数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问使得 $T_{n} > \frac{1000}{2015}$ 成立的最小正整数 $n$ 是多少？

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17、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} b \sin (A - \frac{π}{2}) + a \cos (B + \frac{3 π}{2}) = 0$ ，且 $\sin^{2} A = 6 \sin B \cdot \sin C$ .
（1）求 $A$ ；
（2）若 $b + c = λ a (λ \in R)$ ，求 $λ$ 的值.

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18、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E满足 $\vec{A_{1} E} = \frac{1}{2} \vec{E C_{1}}$ ，点F在平面 $B C_{1} D$ 内，则 $A_{1} F + E F$ 的最小值为．

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19、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{n} (3 T_{n} - 1) = T_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $T_{n} =$ .

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20、已知曲线 $C_{1} : f (x) = ln (2 x - 1)$ 在点 $M (x_{1}, y_{1})$ 处的切线与曲线 $C_{2} : g (x) = e^{2 x - 1}$ 相切于点 $N (x_{2}, y_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $h (x) = x^{2} g (x) - 1$ 有2个零点 B、函数 $m (x) = \frac{3}{2} e f (x) - x g (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上单调递增 C、 $g (x_{2}) = \frac{1}{2 x_{1} - 1}$ D、 $\frac{1}{x_{1} - 1} + 2 x_{2} = 0$

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