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相关试卷

1、正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E 、 F 、 G$ 分别是 $A D 、 B C 、 E F$ 的中点，如图所示，将正方形沿 $E F$ 折起，使得平面 $A B F E$ 与平面 $D C F E$ 垂直，则（）

A、 $∠ A G C = \frac{2 π}{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $E F$ 的所成角为 $\frac{π}{3}$ C、 $A C$ 与平面 $A B F E$ 的所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、三棱锥 $C - A E G 、 C - B F G$ 和 $C - A B G$ 的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ， $V_{3}$ ，则 $V_{1} + V_{2} = V_{3}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{n} \geq S_{4} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $d > 0$ C、 $a_{4} \leq 0$ D、 $S_{9} < 0$

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3、如图，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，双曲线 $C$ 的右支上一点 $A$ ，它关于原点 $O$ 的对称点为 $B$ ，满足 $∠ F_{1} A F_{2} = 120 °$ ，且 $|B F_{2}| = 3 |A F_{2}|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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4、若直线 $l : m x + n y - 1 = 0$ 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 相切，则原点 $O$ 到直线 $l$ 距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、1

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5、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}, \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， C、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$

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6、圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为（）

A、 $x - 2 y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y + 3 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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7、设 $x, y \in R$ ，空间向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (2, y, - 2)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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8、已知 $O$ 为坐标原点， $B (0, 3)$ ，且动点 $P (x, y)$ 在双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右支上，动点 $Q (m, n)$ 满足 $| Q O | = 2 | Q B |$ ，则 $\sqrt{{(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 4 x + 4}$ 的最小值为.

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9、在平面内，有 $m$ 个椭圆和 $n$ 条抛物线（ $m, n \in N^{*}$ ），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点. 设所有公共点个数为V. 这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域. 如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时 $S = 4$ . 已知对于任意 $m, n \in N^{*}$ ， $V + S - L = 1$ 成立.

(1)、当 $m = n = 1$ 时，直接写出S的最大值及此时 $V$ 和 $L$ 的值；

(2)、当 $m = n = 2$ 时，是否存在 $V$ ，使得 $S = 25$ ？若存在，求出 $V$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、对于给定的 $m, n \in N^{*}$ ，设所有S的最大值为 $S (m, n)$ . 当 $S (m, n) = 221 + n$ 时，试求出 $m + n$ 的值.

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且 $a = 2 b$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 是否存在点 $T (t, 0)$ ，使得 $∠ P T F = ∠ Q T F$ 恒成立？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由.

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11、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ，点E为线段PD的中点，点 $F$ 为线段 $P C$ （不含端点）上的动点.

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若存在点 $F$ ，使得平面 $P A C$ 与平面 $A E F$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $\frac{P F}{P C}$ 的值.

(3)、在（2）的条件下，求四面体 $P - A E F$ 的体积.

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，上顶点为 $A (0, 1)$ ．过 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的另一个交点为 $B$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ .
（i）求 $l$ 的方程；
（ii）求 $△ O A B$ 的面积.

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13、已知六面体 $A B C D E F$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A F / / D E$ 且 $D E = 2 A F = 4$ .

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $D E C$ ；

(2)、若 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $B F$ 与平面 $B E C$ 夹角的正弦值.

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14、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 24 = 0$ ，过点 $M (- 4, 0)$ 作斜率为1的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、写出圆 $C$ 的标准方程，圆心坐标和半径；

(2)、求线段AB的中垂线方程；

(3)、求 $|A B|$ ．

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15、曲线 $C$ 是平面内到原点 $O$ 的距离与到直线 $x = 1$ 的距离的乘积等于常数 $a^{2}$ （ $a > 1$ ）的点的轨迹. 给出下列四个结论：
①曲线 $C$ 过点 $(0, 1)$ ；
②曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称；
③曲线 $C$ 存在渐近线；
④曲线 $C$ 与被 $x$ 轴截得的弦长大于 $\sqrt{5}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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16、在 $△ A B C$ 中， $a = 4$ ， $c - b = 2$ ，则 $∠ B$ 的一个取值可以为.

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17、已知抛物线 $C$ 的焦点为 $F (0, 1)$ ，则 $C$ 的标准方程为；设点 $Q (2, 3)$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为.

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18、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}, A C = B C = C C_{1}$ ，点 $D$ 是 $A_{1} C$ 的中点，则 $B D$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦值为.

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19、经过抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $E$ 于点 $A$ ， $l$ 是 $E$ 在点 $A$ 处的切线. 点 $B$ 是 $E$ 上异于 $A$ 的任意一点，过 $B$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $l$ 于点 $C$ ，则 $\frac{| C M |}{| B F |} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、不确定

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点Q为底面 $A B C D$ （含边界）上的动点，满足平面 $A_{1} Q C ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ ，则点 $Q$ 的轨迹为（）

A、一段圆弧 B、一段抛物线 C、一段椭圆 D、一条线段

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