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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(3 \sqrt{2}, 2)$ ，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$

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2、若a，b，l是空间中三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $a // β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = l$ ，则 $a // l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $a ⊥ l$ ，则 $a ⊥ β$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a // b$ ，则 $α // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a ⊥ b$

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3、若条件 $p : x \leq 1$ ，且 $\neg p$ 是q的必要条件，则q可以是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x > 1$

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4、 $\sin 18 ° \cos 36 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

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5、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 2)$ ， $C (- 3, 1, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、若 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 互相垂直，求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离．

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6、已知 $A (1, 3, 2)$ ， $B (- 1, 4, 1)$ ， $C (5, y, z)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $2 y - z =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ A D C = 60 °$ ， $△ P A D$ 为正三角形， $O$ 为 $A D$ 的中点，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的点.

(1)、求证： $P C ⊥ B C$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 的夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，若存在；求出此时 $\frac{P M}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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8、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} \cdot \log_{2} b_{2 n + 1}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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9、已知圆心为 $N (3, 4)$ 的圆被直线 $x = 1$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆N的方程；

(2)、点 $B (3, - 2)$ 与点C关于直线 $x = - 1$ 对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $(\frac{1}{2}, y_{0})$ 到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 $p =$

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11、已知点 $P$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 为其左、右焦点，且△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积为3，则下列说法正确的是（）

A、P点到 $x$ 轴的距离为 $\frac{3}{2}$ B、 $∠ F_{1} P F_{2} > 90^{\circ}$ C、△ $F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ D、△ $F_{1} P F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{3}{2} (\sqrt{2} - 1)$

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12、数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 $y = a x^{2}$ 的一部分，其焦点坐标为 $(0, - 2)$ ，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）

A、18米 B、21米 C、24米 D、27米

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13、折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A， $B$ 间的圆弧长为 $l_{1}$ ， $C$ ， $D$ 间的圆弧长为 $l_{2} = \frac{1}{2} l_{1}$ ，当弦长 $A B$ 为 $d = 2 \sqrt{3}$ ，圆弧所对的圆心角为 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，则扇面字画部分的面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴的左端点为 $A (- 2, 0)$ .

(1)、求C的方程；

(2)、过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线 $x = 4$ ，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.

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15、华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对于 $x_{0} \in R$ ，令 $x_{n} = f (x_{n - 1}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，若存在正整数 $k$ 使得 $x_{k} = x_{0}$ ，且当 $0 < j < k$ 时， $x_{j} \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个周期为 $k$ 的周期点.
给出下列四个结论：
①若 $f (x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x)$ 存在唯一一个周期为1的周期点；
②若 $f (x) = 2 (1 - x)$ ，则 $f (x)$ 存在周期为2的周期点；
③若 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x, & x < \frac{1}{2} \\ 2 (1 - x), & x \geq \frac{1}{2} \end{array}$ ，则 $f (x)$ 存在周期为3的周期点；
④若 $f (x) = x (1 - x)$ ，则对任意正整数 $n$ ， $\frac{1}{2}$ 都不是 $f (x)$ 的周期为 $n$ 的周期点．
其中所有正确结论的序号是．

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16、已知集合 $A = \{9, 3 m\}$ ， $B = \{m^{2}, 9\}$ ，且 $A = B$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、3 C、 $\pm 3$ D、3或0

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17、已知 $x > - 1$ ， $y > 0$ 且满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值为．

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18、定义：如果函数 $f (x)$ 在定义域内，存在极大值 $f (x_{1})$ 和极小值 $f (x_{2})$ ，且存在一个常数 $k$ ，使 $f (x_{1}) - f (x_{2}) =$ $k (x_{1} - x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为极值可差比函数，常数 $k$ 称为该函数的极值差比系数.已知函数 $f (x) = x -$ $\frac{1}{x} - a ln x$

(1)、当 $a = \frac{5}{2}$ 时，求 $k$ ；

(2)、是否存在 $a$ 使 $f (x)$ 的极值差比系数为 $2 - a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、若 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$ ，求 $f (x)$ 的极值差比系数的取值范围.

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，定义椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 的“伴随点”为 $N (\frac{x_{0}}{a}, \frac{y_{0}}{b})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 的“伴随点” $N$ 的轨迹方程；

(2)、如果椭圆 $C$ 上的点 $(1, \frac{3}{2})$ 的“伴随点”为 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2 b})$ ，对于椭圆 $C$ 上的任意点 $M$ 及它的“伴随点” $N$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 2, b = \sqrt{3}$ 时，直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，求 $△ O A B$ 的面积.

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20、已知不等式 $e^{(1 - a) x} > a x + ln x$ 在区间 $(0, e^{2}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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