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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{2 π}{3}]$ 上的最值.

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2、解答下列各题.

(1)、化简求值： $\log_{\sqrt{3}} 9 - \sqrt[3]{64} + {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} - e^{\ln 2} + \cos \frac{2 π}{3}$ ；

(2)、已知 $\tan α = 2$ ，求 $\frac{2 \sin (π + α) \cos (- 2 π - α)}{\sin^{2} (- \frac{5 π}{2} + α) - \cos^{2} (\frac{3 π}{2} - α)}$ 的值.

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3、已知函数 $f (x)$ 由下表给出
x
0
1
2
3
4
$f (x)$
$f (0)$
$f (1)$
$f (2)$
$f (3)$
$f (4)$
其中 $f (k)$ （ $k = 0$ ， 1，2，3，4）的值等于 $f (0)$ 、 $f (1)$ 、 $f (2)$ 、 $f (3)$ 和 $f (4)$ 中k所出现的次数，则 $f (4) =$ ； $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) =$ .

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4、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{4 π}{3}) =$ .

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x, (x > 0) \\ 2^{x}, (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f [f (2)] =$ .

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6、将函数 $f (x)$ 的图象横坐标伸长为原来的 $2$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x) = \sin (2 x + φ)$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象（如图所示）．对于 $\forall x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 若 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，都有 $g (x_{1} + x_{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 成立，则（）

A、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x)$ 在 $[π, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{4 π}{3}]$ 的零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2 x_{n - 1} + x_{n} = \frac{85 π}{12}$

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7、已知 $a > b > c$ （a，b， $c \in R$ ），且 $3 a + 2 b + c = 0$ ，则（）

A、 $a + c < 0$ B、存在a，c使得 $c^{2} - 36 a^{2} = 0$ C、不存在a，c使得 $\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq - 2$ D、 $\frac{2 a + b}{a + c} < - \frac{1}{2}$

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8、下列说法正确的是（）

A、函数 $y = 2 x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ B、函数 $f (x) = \tan x - \frac{1}{\tan x}$ 的值域为R C、函数 $f (x) = e^{x} - 1$ 与 $g (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1}$ 是同一个函数 D、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[1, 4]$ ，则函数 $f (2^{x})$ 的定义域为 $[0, 2]$

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9、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，且当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{5}{2}] \cup [\frac{22}{3}, \frac{17}{2}]$ B、 $(0, \frac{4}{3}] \cup [8, \frac{17}{2}]$ C、 $(0, \frac{4}{3}] \cup [8, \frac{28}{3}]$ D、 $(0, \frac{5}{2}] \cup [\frac{22}{3}, 8]$

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10、已知函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上单调，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - \ln x) = 1 + e$ ，则 $f (e^{2}) =$ （）

A、e B、 $e + 1$ C、 $e + 2$ D、2e

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11、已知函数 $f (x) = 2025^{- x} - 2025^{x}$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 3) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{1}{n + 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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12、下列大小关系正确的是（）

A、 $3^{\sqrt{2}} < 3^{\ln 2}$ B、 ${1.1}^{0.2} > {1.2}^{0.5}$ C、 $\sin 1 < \cos 1$ D、 $\log_{2} 3 > \log_{4} 5$

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13、函数 $y = \sin 2 x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x^{2}})$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、若角 $θ$ 的终边经过点 $(- 2, 3)$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{13} \sqrt{13}$ B、 $- \frac{2}{13} \sqrt{13}$ C、 $\frac{2}{13} \sqrt{13}$ D、 $\frac{3}{13} \sqrt{13}$

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15、已知命题 $p : x^{2} - x < 0$ ，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（）

A、 $- 1 < x < 1$ B、 $0 < x < 1$ C、 $\frac{1}{2} < x < 1$ D、 $\frac{1}{2} < x < 2$

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16、设正整数 $n \geq 4$ ，若由实数组成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 满足如下性质，则称 $A$ 为 $H_{n}$ 集合：对 $A$ 中任意四个不同的元素 $a, b, c, d$ ，均有 $a b + c d \in A$ .

(1)、判断集合 $A_{1} = \{0, \frac{1}{2}, 1, 2\}$ 和 $A_{2} = \{\frac{1}{3}, 1, 2, 3\}$ 是否为 $H_{4}$ 集合，说明理由；

(2)、若集合 $A = \{0, x, y, z\}$ 为 $H_{4}$ 集合，求 $A$ 中大于1的元素的可能个数；

(3)、若集合 $A$ 为 $H_{n}$ 集合，求证： $A$ 中元素不能全为正实数.

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17、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 3, A A_{1} = 1, M$ 为棱 $B C$ 的中点，点 $P$ 是侧面 $C C_{1} D_{1} D$ 上的动点，满足 $∠ A P D = ∠ C P M$ ，给出下列四个结论：
①动点 $P$ 的轨迹是一段圆弧；
②动点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{3}$ ；
③动点 $P$ 的轨迹与线段 $C C_{1}$ 有且只有一个公共点；
④三棱锥 $P - A D D_{1}$ 的体积的最大值为 $\frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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18、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2}$ ， $k \in R$ .若点 $A$ 在函数 $y = f (x)$ 的图像上，且经过点 $A$ 的切线与函数 $y = f (x)$ 图像的另一个交点为点 $B$ ，则称点 $B$ 为点 $A$ 的一个“上位点”，现有函数 $y = f (x)$ 图像上的点列 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， …， $M_{n}$ ， …，使得对任意正整数 $n$ ，点 $M_{n}$ 都是点 $M_{n + 1}$ 的一个“上位点”.

(1)、若 $k = 0$ ，请判断原点 $O$ 是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)、若点 $M_{1}$ 的坐标为 $(3 k, 0)$ ，请分别求出点 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 的坐标；

(3)、若 $M_{1}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，记点 $M_{n}$ 到直线 $y = m$ 的距离为 $d_{n}$ .问是否存在实数 $m$ 和正整数 $T$ ，使得无穷数列 $d_{T}$ 、 $d_{T + 1}$ 、…、 $d_{T + n}$ …严格减？若存在，求出实数 $m$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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19、用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 $75 \sqrt{3} m^{2}$ 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底 $A D$ ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成 $60 °$ ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．

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20、（1）在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，且 $B = \frac{π}{6}$ .求角A，C的大小；
（2）在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 4, b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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x	0	1	2	3	4
$f (x)$	$f (0)$	$f (1)$	$f (2)$	$f (3)$	$f (4)$