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相关试卷

1、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ．若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{M B}$ ，点 $N$ 为 $A B$ 中点，则 $\vec{D M} \cdot (\vec{D A} + \vec{D N}) =$ （）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $24$ D、 $30$

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2、已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（）

A、 $64 \sqrt{6} π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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3、 $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{\ln x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $\lg e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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4、在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{7 π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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5、i是虚数单位，若复数 $z = \frac{i^{6} + 2 i}{1 + i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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6、已如函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 1, x \leq 1 \\ x^{2} - 3, x > 1 \end{matrix}$

(1)、求 $f (- 1), f (f (\frac{1}{2}))$ ；

(2)、若 $f (a) = 1$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、作出函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 2)$ 区间内的图像．

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7、某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本 $R (x)$ 万元.当年产量不足25台时， $R (x) = 3 x^{2} + k x$ ；当年产量不小于25台时 $R (x) = 202 x + \frac{3200}{x + 10} - 1330$ ，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

(1)、求k的值；

(2)、求该企业投资生产这批新型机器的年利润所 $W (x)$ （万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；

(3)、这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

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8、已知四个整数 $a, b, c, d$ 满足 $0 < a < b < c < d$ ．若 $a, b, c$ 成等差数列， $b, c, d$ 成等比数列，且 $d - a = 48$ ，则 $a + b + c + d$ 的值为．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (4 - 2 a) x - a, x < 1 \\ \log_{a} x, x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[2, 4)$ C、 $[\frac{4}{3}, 2)$ D、 $[\frac{5}{3}, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln (x + a) (a \in R)$ ．

(1)、设 $φ (x) = f (x) g (x)$ ，请判断 $φ (x)$ 是否存在极值?若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

(2)、当 $a = 0$ 时，若对于任意 $s > t > 0$ ，不等式 $g (s) - g (t) > k (\frac{1}{f (s)} - \frac{1}{f (t)})$ 恒成立，求k的取值范围．

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11、已知椭圆的两焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，且 $2 | F_{1} F_{2} | = | P F_{1} | + | P F_{2} | .$

(1)、求此椭圆的方程 $;$

(2)、若点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积．

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12、如图，在几何体 $A B C D E$ 中， $C D / / A E$ ， $∠ E A C = 90^{\circ}$ ，平面 $E A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D = 2 E A = 2$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $F$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ ．

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14、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $|P F_{1}| = \sqrt{6} |O P|$ ，则 $C$ 的离心率为

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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15、已知圆心为C的圆经过 $A (1, - 5)$ ， $B (0, 2)$ 两点，且点C在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，则此圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

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16、已知两点 $A (3, 2)$ 和 $B (- 1, 4)$ 到直线 $m x + y + 3 = 0$ 距离相等，则 $m$ 值为（）

A、 $0$ 或 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- 6$ C、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $0$ 或 $\frac{1}{2}$

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17、如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别在空间直角坐标系 $O - x y z$ 的三条坐标轴上， $\vec{O C} = (0, 0, 2)$ ，平面 $A B C$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, 1, 2)$ ，设二面角 $C - A B - O$ 的大小为θ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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18、已知定义域为 $R$ 的函数 $h (x)$ 满足：对于任意的 $x \in R$ ，都有 $h (x + 2 π) = h (x) + h (2 π)$ ，则称函数 $h (x)$ 具有性质 $P$ .

(1)、判断函数 $f (x) = 2 x, g (x) = cos x$ 是否具有性质 $P$ ；（直接写出结论）

(2)、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (\frac{3}{2} < ω < \frac{5}{2}, |φ| < \frac{π}{2})$ ，判断是否存在 $ω, φ$ ，使函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ？若存在，求出 $ω, φ$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、设函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，且在区间 $[0, 2 π]$ 上的值域为 $[f (0), f (2 π)]$ .函数 $g (x) = sin (f (x))$ ，满足 $g (x + 2 π) = g (x)$ ，且在区间 $(0, 2 π)$ 上有且只有一个零点.求证： $f (2 π) = 2 π$ .

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19、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4}{2 a^{x} + a}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $g (x) = (m + 1) 2^{x} - m f (x)$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上有两个不同的零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值.

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