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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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2、已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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3、设向量 $\vec{m} = (a, 1)$ ， $\vec{n} = (a + 2, - 3)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- 3$ D、 $- 1$ 或3

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4、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A D N M$ 是矩形，平面 $A D N M ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A D = 4$ ， $A M = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A N / /$ 平面 $M E C$ ；

(2)、求 $M E$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A M$ 上是否存在点 $P$ ，使平面 $P E C$ 和平面 $D E C$ 的夹角大小为 $\frac{π}{3}$ ？若存在，求出 $A P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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5、在空间四边形 $P A B C$ 中， $\vec{P B} - \vec{A B} + \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{A P}$ B、 $\vec{P C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{A C}$

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6、如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ，并求EF的长；

(2)、求 $\vec{E F}$ 与 $\vec{G H}$ 夹角的大小．

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7、已知函数 $y = f (x)$ ，若存在实数 $k$ 与 $d$ ，使得对任意实数 $x$ ， $f (x + 2) + k f (x + 1) + f (x) = d$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为“ $(k, d)$ 周期函数”.

(1)、求 $k$ ， $d$ 的值，使得 $f (x) = x^{2}$ 为“ $(k, d)$ 周期函数”；

(2)、若 $f (x)$ 为“ $(2, d)$ 周期函数”，证明： $f (x + 1) + f (x)$ 为周期函数；

(3)、已知 $f (x)$ 为“ $(2, 5)$ 周期函数”，记函数 $g_{n} (x) = e^{x - 2024} - f (n) \ln x (n \in N^{*})$ .若 $g_{n} (x)$ 在区间 $(0, 2024)$ 上单调递减，且 $f (1) = 1$ ， $f (2) = 2$ ，求 $n$ 的最小值.

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8、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + c) \cdot \sin (B + C) = (b - c) \cdot (\sin B + \sin C)$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、点 $E$ 为边 $A C$ 的中点，若 $B E = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图所示，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $∠ B A C = ∠ D A C = θ$ ，且 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，记 $△ B C D$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的取值范围．

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9、现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
数量y
200
260
280
350
420
440
500

(1)、若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 11200$ ）

(2)、某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求 $X < Y$ 的概率．

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10、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (3, 0)$ ， $A (- 2, \sqrt{3})$ 为 $E$ 内一点，若 $E$ 上存在一点 $M$ ，使得 $|M A| + |M F| = 10$ ，则椭圆 $E$ 离心率的取值范围是．

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11、已知 $x^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9}$ ，则 $a_{2} =$ ．（用数字作答）

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12、 $\sin^{2} 1^{0} + \sin^{2} 2^{0} + \sin^{2} 3^{0} + \dots + \sin^{2} 90^{0} =$ .

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13、数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $P$ 是 $E$ 上一个动点，则（）

A、点 $(1, 2)$ 在 $E$ 上 B、 $△ P A B$ 面积的最大值为1 C、曲线 $E$ 恰好经过4个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D、 $|P C| + |P D| \leq 2 \sqrt{3}$

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14、把一边不光滑的一条纸（A，B）卷成小筒，得到的是（1～4）中的小筒，其中配对正确的是（）

A、A—4 B、A—2 C、B—3 D、B—1

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15、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x < 4 \\ 4 sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{6}), 4 \leq x \leq 14 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有四个不等的实根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 \leq m \leq 2$ B、 $x_{1} x_{2} = 2$ C、 $x_{3} + x_{4} = 16$ D、 $x_{1} x_{3}$ 取值范围为 $(0, 5)$

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16、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = \frac{1}{5}, a_{4} = \frac{1}{9}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则使不等式 $S_{n} > \frac{5}{33}$ 成立的 $n$ 的最小值为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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17、如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{6}$ 的中心，若 $A_{1} (\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4})$ ，则点 $A_{3}$ 的纵坐标为 $($ $)$

A、 $\frac{- \sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{8}$

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18、定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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19、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{3 (\sin A - \sin B)}{\sin C} = \frac{3 c - 2 b}{a + b}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3} \sqrt{2}$ ．
①已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上中线 $A E$ 长的最小值；
②求内角A的角平分线 $A D$ 长的最大值．

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20、已知复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ ，（ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）．

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根，求实数 $a$ 的值；

(3)、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，且 $z_{1}^{2} + m z_{1} + n$ $(m, n \in R)$ 是实数，求实数 $m$ 的值．

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