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相关试卷

1、若正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$ ，则PA的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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2、已知点 $A (0, 1), B (2 \sqrt{3}, 1)$ ，动点 $P$ 满足 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ，若点 $P$ 的轨迹与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ 有两个公共点，则 $b$ 的值可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + 1$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

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3、某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中，可能变化的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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4、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上， $a = 4 C D$ ， $A P / / B C$ ， $∠ B D P = 2 ∠ A C B = 90 °$ ，且 $a \cos ∠ B = 2 b \sin^{2} \frac{∠ B A C}{2}$ .

(1)、证明： $P D = \frac{a}{2}$ ；

(2)、求 $\sin ∠ P C A$ .

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ + \frac{π}{6})$ ， $x \in R$ ，其中 $ω > 0$ ， $0 < φ \leq \frac{π}{2}$ ，若 $f (x)$ 的图像相邻两最高点的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且有一个对称中心为 $(\frac{π}{3}, 0)$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) - k = 0 (x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}])$ 有解，求 $k$ 的取值范围.

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6、已知向量 $\vec{a} =(4,2)$ ， $\vec{b} = (6, y)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $y$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $y$ .

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7、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，其中 $λ \in R$ ．

(1)、求 $|\vec{a}|$ ；

(2)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求实数 $λ$ 的值．

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8、函数 $f (x) = 4 x - x^{2}$ 的最大值是.

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9、已知log_x27＝3，则x＝.

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且图象关于直线 $x = 2$ 对称，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} + a$ ，则不等式 $f (x) \leq f (x + 2)$ 成立的一个充分条件是（）

A、 $1 \leq x \leq 5$ B、 $9 \leq x \leq 13$ C、 $13 \leq x \leq 17$ D、 $21 \leq x \leq 25$

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11、下列各式中不成立的是（）

A、 $\log_{2} (8 - 4) = \log_{2} 8 - \log_{2} 4$ B、 $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ C、 $\sin 120^{°} + \cos (- 135^{°}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{π}{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$ ，则关于 $f (x)$ 说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的最大值是 $2$ C、函数 $f (x)$ 的一条对称轴方程是 $x = - \frac{π}{6}$ D、函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{6})$ 是奇函数

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13、已知 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ， $φ \in (- π, 0)$ ，一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ ，若关于x的方程 $f (x) = \frac{m}{2}$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）

A、 $(- 4, - 2 \sqrt{2}]$ B、 $[- 4, - 2 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{2}, 4)$ D、 $[2 \sqrt{2}, 4]$

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14、复数 $\frac{| 6 + 8 i |}{3 i - 1}$ 的共轭复数是（）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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15、三个数 $a = \log_{3} 0.3$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = \frac{1}{2}$ 的大小顺序是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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16、设集合 $A = \{x ||x| < 3 \}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \supseteq B$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 2, 6)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, x)$ ，若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 反向，则 $\overset{⃑}{a} \cdot (3 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) =$ （）

A、-30 B、30 C、-100 D、100

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18、已知 $a, b$ 都是正数，若 $2 a + b = 2$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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19、阅读材料：
某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数 $g (x) = e^{x}$ 和 $φ (x) = \sqrt{x}$ ，它们虽然都是增函数，但是图象却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念：
设连续函数 $f (x)$ 的定义域为区间 $I$ ，
如果 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的凹函数；
如果 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的凸函数．
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：
若 $f (x)$ 是区间I上的凹函数，则 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in I$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时，等号成立）；
若 $f (x)$ 是区间I上的凸函数，则 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in I$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时，等号成立）．
小组成员询问老师，得到了如下评注：
在运用琴生不等式求含有多个变量的式子的最值问题时，关键是构造函数．
解决下面问题：

(1)、已知A，B，C分别为 $△ A B C$ 的三个内角，直接写出 $\sin A + \sin B + \sin C$ 的最大值（不用写出解题过程）；

(2)、判断二次函数 $f (x) = a x^{2} + x$ 在R上的凹凸性，并说明理由：

(3)、若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 是一组实数，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = k$ （ $k$ 为定值），试求 $a_{1} (a_{1} + 1) + a_{2} (a_{2} + 1) + \dots + a_{n} (a_{n} + 1)$ 的最小值．

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20、已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{4^{x} + 1}$ ，是定义在R上的奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在R上的单调性，并证明你的结论；

(3)、若存在区间 $[m, n]$ ，使得函数 $y = f (x) + t$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[4^{m}, 4^{n}]$ ，求实数t的取值范围．

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