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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期是 $π$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象关于原点对称．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程；

(2)、若 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $f (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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2、某药物研究所发现，病人在服用某种药物 $100mg$ 后，血液中药物的含量 $y$ （单位： $100mg$ ）在0～6小时内随时间 $x$ （单位：h）的变化曲线如图所示．当 $0 \leq x < 1$ 时，可选择用函数 $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos π x$ 来近似地刻画 $y$ 随 $x$ 变化的规律；当 $1 \leq x \leq 6$ 时，可选择用函数 $y = {(\frac{4}{5})}^{x - a}$ （a为常数）来近似地刻画 $y$ 随 $x$ 变化的规律．

(1)、当 $0 \leq x \leq 6$ 时，求这段曲线的函数解析式；

(2)、如果该药物在病人血液中的含量保持在 $50mg$ 以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物 $100mg$ ，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ）

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3、化简求值：

(1)、 ${(2 \frac{7}{9})}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{8} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - \sqrt{{(π - 4)}^{2}}$

(2)、已知 $x \log_{3} 4 + \log_{3} 12 = 3$ ，求 $4^{x} + 4^{- x}$ ．

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4、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x} + 2 x, x \leq 1 \\ x^{2} - (a - 3) x + b, x > 1 \end{array}$ ，若存在实数a（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 2$ ，则实数b的取值范围为.

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5、求值： $\cos 40^{°} (1 - \sqrt{3} \tan 170^{°}) =$ ．

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6、已知 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{3}, \frac{π}{2} < β < \frac{2 π}{3}$ ，则 $α + 2 β$ 的取值范围为．

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7、已知函数 $f (x) = 24 a x^{2} + 4 x - 1, a \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则 $- \frac{1}{8} < a < \frac{5}{24}$ B、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则 $- \frac{1}{8} \leq a \leq \frac{5}{24}$ 或 $a = - \frac{1}{6}$ C、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有零点，则 $a > - \frac{1}{6}$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有零点，则 $a \geq - \frac{1}{6}$

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8、下列选项正确的是（）

A、若 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ} = 3$ ，则 $\tan θ = 2$ B、若 $\sin θ = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin φ = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．且 $\frac{π}{2} < θ < π, \frac{π}{2} < φ < π$ ，则 $θ + φ = \frac{7}{4} π$ C、 $\cos \frac{π}{9} \cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} = \frac{1}{4}$ D、 $(1 + \tan 13 °) (1 + \tan 32 °) = 2$

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9、下列结论不正确的是（）

A、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{3}, 3)$ ，则 $f (x) = x^{- 3}$ B、函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点 $(- 1, 2)$ C、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})$ 的单调递增区间是 $(1, + \infty)$ D、函数 $y = \tan (3 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$

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10、已知函数 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称， $\forall x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(f (x_{1}) - f (x_{2})) (x_{1} - x_{2}) > 0$ 设 $a = f (\log_{2} \frac{1}{3}), b = f (\log_{3} \frac{1}{4}), c = f (\log_{4} \frac{1}{5})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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11、牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{a} = (T_{0} - T_{a}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}}$ ，其中h是常数，环境温度是 $T_{a}$ ．若 $T_{a} = 35 ℃$ ，现有一杯 $90 ℃$ 的热水降至 $85 ℃$ 大约用时1分钟，那么水温从 $85 ℃$ 降至 $55 ℃$ ，大约还需要（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 11 \approx 1.04$ ）

A、11分钟 B、10分钟 C、9分钟 D、8分钟

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12、若对于任意实数x，不等式 $\cos^{4} x - t \cos^{2} x +3>0$ 恒成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4)$ D、 $(- 4, + \infty)$

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13、已知 $a, b \in R$ ， “ $a^{2} < b^{2}$ ”是“ $2^{a} < 2^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、用弧度制表示与 $2025^{°}$ 角的终边相同的角的集合为（）

A、 $\{α | α = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ B、 $\{α | α = \frac{3π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ C、 $\{α | α = - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ D、 $\{α | α = - \frac{3π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$

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15、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} - 2^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3}}{2^{|x|}}$ C、 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{|x|}$

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16、命题“ $\forall x \in R, \sin x \leq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, \sin x > 1$ B、 $\forall x \notin R, \sin x > 1$ C、 $\exists x \in R, \sin x > 1$ D、 $\exists x \notin R, \sin x \leq 1$

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17、已知集合 $A = \{x | - 3 < x \leq 2\}, B = \{y | y = 2 k, k \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{- 2, 0\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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18、定义 $△ A B C$ 三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则称三元无序数组 $(a, b, c)$ 为三角形数．记 $D$ 为三角形数的全集，即 $(a, b, c) \in D$ ．

(1)、证明：“ $(a, b, c) \in D$ ”是“ $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}) \in D$ ”的充分不必要条件；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 内接于圆O，且 $x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} = \vec{0}$ ，设 $I = (x, y, z) (x, y, z > 0)$ ．
①若 $I = (3, 4, 5)$ ，求 $S_{△ A O B} : S_{△ A O C}$ ；
②证明： $I \in D$ ．

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19、如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $A B = 2$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $F A = F C = \sqrt{6}$ ，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $B D / / l$ ；

(2)、证明：平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、记平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角为 $α$ ，若正实数 $m$ ， $n$ 满足 $\{\begin{matrix} m \cos^{2} θ = \sin θ - t \cos θ \\ n \sin^{2} θ = \cos θ + t \sin θ \end{matrix}$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，证明： $m + n > \frac{3 \sqrt{3}}{2} \tan α$ ．

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20、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3 x}{2}, \sin \frac{3 x}{2}), \vec{b} = (\cos \frac{x}{2}, - \sin \frac{x}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - m |\vec{a} + \vec{b}| + 1$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}], m \in R$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为﹣1，求实数m的值；

(3)、是否存在实数m，使函数 $g (x) = f (x) + \frac{24}{49} m^{2}$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

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