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相关试卷

1、大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记 $p$ 为实际声压，通常我们用声压级 $L (p)$ （单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级 $L (p)$ 与声压 $p$ 存在近似函数关系： $L (p) = a lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中 $a$ 为常数，且常数 $p_{0} (p_{0} > 0)$ 为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压 $p_{1}$ 为穿软底鞋走路的声压 $p_{2}$ 的 $100$ 倍，且穿硬底鞋走路的声压级为 $L (p_{1}) = 60$ 分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级 $L (p_{2})$ 的 $3$ 倍.若住宅区夜间声压级超过 $50$ 分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为 $p^{'}$ ，则（）

A、 $a = 20$ ， $p^{'} \leq 10 \sqrt{10} p_{2}$ B、 $a = 20$ ， $p^{'} \leq \frac{1}{10} p_{1}$ C、 $a = 10$ ， $p^{'} \leq 10 \sqrt{10} p_{2}$ D、 $a = 10$ ， $p^{'} \leq \frac{1}{10} p_{1}$

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2、已知 $1 < x < 2$ ， $a = {({log}_{2} x)}^{2}$ ， $b = {log}_{2} x^{2}$ ， $c = {log}_{2} (2 x)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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3、在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{C B} =$ （）

A、 $2 \overset{⃑}{B O}$ B、 $2 \overset{⃑}{D O}$ C、 $\overset{⃑}{B D}$ D、 $\overset{⃑}{A C}$

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4、已知 $a, b \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知一组数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数 $\bar{x} = 1$ ，方差 $s^{2} = 1$ ，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, 2 x_{3} + 1, 2 x_{4} + 1$ 的平均数和方差分别是（）

A、3，2 B、3，4 C、2，4 D、2，2

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6、从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）

A、“都是白球”与“至少有一个白球” B、“恰有一个白球”与“都是红球” C、“都是白球”与“都是红球” D、“至少有一个白球”与“都是红球”

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7、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = ln x$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = |x| + \frac{1}{|x|}$ D、 $y = 2^{|x|}$

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8、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 2, 0)$ ， $\vec{c} = (1, 1, λ)$ ，若 $\vec{c} ⊥ (2 \vec{a} + b)$ ，则 $λ =$ ．

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9、为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 $70 %$ .

数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理

不经常整理

合计

(1)、求图1中 $m$ 的值；

(2)、根据图1、图2中的数据，补全上方 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
$α$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - e$ ， $a \in R$ （注： $e = 2.718281 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个极值点，求实数a的取值范围．

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11、已知 $6$ 件产品中有 $4$ 件合格品和 $2$ 件次品，现从这 $6$ 件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取 $2$ 件，设采用有放回的方式抽取的 $2$ 件产品中合格品数为 $X$ ，采用无放回的方式抽取的 $2$ 件产品中合格品数为 $Y$ ．

(1)、求 $P (X \leq 1)$ ；

(2)、求 $Y$ 的分布列及数学期望 $E (Y)$ ；

(3)、比较数学期望 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小．

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12、已知集合 $A = \{x | \frac{2 x - 3}{x + 5} < 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} + a x + b \leq 0\}$ 且满足 $A \cap B = \emptyset$ ， $A \cup B = \{x | - 5 < x \leq 2\}$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - 2 \cos x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (x - 2)$ 的解集为.

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14、如图，二面角 $α － l － β$ 的大小为 $60 °$ ，其棱l上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若 $A B ＝ 3, A C ＝ 2, B D ＝ 2,$ 则 $C, D$ 两点间的距离为．

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15、若 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + y = 2$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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16、我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A B ⊥ B C$ ，若 $B B_{1} = A B = 2, B C = 1$ ，则（）

A、该“堑堵”的体积为2 B、该“堑堵”外接球的表面积为 $9 π$ C、若点P在该“堑堵”上运动，则 $| P A |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、该“堑堵”上， $A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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17、下列四个命题中假命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 3 < 0$ B、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} > 1$ C、 $\exists x \in Z$ ，使 $x^{5} < 1$ D、 $\exists x \in Q$ ， $x^{2} = 3$

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18、某地区有 $8000$ 名学生参加某次考试，考试后数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (110, σ^{2})$ ，若 $P (90 \leq X \leq 110) = 0.45$ ，则估计该地区学生本次考试数学成绩在 $130$ 分以上的人数为（）

A、 $300$ B、 $400$ C、 $600$ D、 $800$

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M在棱 $D D_{1}$ 上，直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B M$ ，则点M的位置是（）

A、点D B、点 $D_{1}$ C、 $D D_{1}$ 的中点 D、不存在

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20、“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（）．

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3}{7}$

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经常整理
不经常整理
合计

$α$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$