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相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $P$ 在线段 $B C$ 上，满足 $2 \vec{B P} = \vec{P C}$ ， $O$ 为线段 $A P$ 上一点，且 $\vec{B O} = \frac{1}{3} \vec{B A} + λ \vec{B C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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2、设复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则z的共轭复数为（）．

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、1 D、 $i$

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3、若对任意的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $\frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $[e^{3}, + \infty)$ B、 $[e^{2}, + \infty)$ C、 $[e, + \infty)$ D、 $[e, e^{2}]$

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4、如图， $E, F$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 和 $B C$ 上的动点，且 $A B = 2, A D = 1$ .
（1）若 $E, F$ 都是中点，求 $\vec{E F} \cdot \vec{A C}$ .
（2）若 $E, F$ 都是中点， $N$ 是线段 $E F$ 上的任意一点，求 $\vec{A N} \cdot \vec{N B}$ 的最大值.
（3）若 $∠ E A F = 45 °$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值.

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \sqrt{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $g (x) > 1$ 的解集；

(3)、设函数 $h (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x - 1}} - 1$ ，若对任意的 $x_{1} \in [\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ ， $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，都有 $g (x_{1}) <$ $h (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．

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6、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $|t \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17}$ ，求 $t$ 的值．

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7、已知函数 $f (x) = 3 cos (ω x + \frac{π}{3}) + 1 (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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8、某数学兴趣小组成员为测量 $A$ ， $B$ 两地之间的距离，测得 $B$ 在 $C$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向上， $A$ 在 $C$ 的北偏西 $30^{\circ}$ 方向上， $A$ 在 $D$ 的北偏东 $15^{\circ}$ 方向上， $B$ 在 $D$ 的北偏东 $75^{\circ}$ 方向上， $C$ 在 $D$ 的正东方向上，且 $C$ ， $D$ 相距20千米，则 $A$ ， $B$ 两地之间的距离是千米.

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9、函数 $f (x) = 5 tan (2 x + \frac{π}{4})$ 图象的对称中心的坐标是．

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10、已知角 $α$ 的终边经过点 $A (- 3, 4)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin (α - π) = \frac{4}{5}$ B、 $sin (α + \frac{π}{2}) = - \frac{3}{5}$ C、 $sin 2 α = - \frac{24}{25}$ D、 $cos 2 α = \frac{7}{25}$

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11、如图，在同一个平面内，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足 $|\vec{O A} |= 2| \vec{O B}| > 0$ ，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O C}$ 的夹角为 $α$ ，向量 $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 的夹角为 $β$ ，且 $2 sin α = 3 sin β$ .若 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m, n \in R)$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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12、已知函数 $f (x) = 4 sin x cos (x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x - \frac{π}{3})$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $f (x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{7 π}{12}$ 对称

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $b + c = \frac{4}{3} a$ ， $\cos B = \frac{1}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、不确定的

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14、已知 $tan α = - 5 tan β$ ，则“ $sin (α - β) = \frac{1}{2}$ ”是“ $sin (α + β) = \frac{1}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $a - i (a \in R)$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 5 = 0 (m \in R)$ 的一个根，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、 $\pm 2$

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16、已知扇形 $A O B$ 的周长为12，面积为9，则扇形 $A O B$ 的圆心角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、2 C、 $\frac{2 π}{3}$ D、3

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17、已知一组数据1，2，0， $- 1$ ， x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为.

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18、 $\frac{2 cos 10 ° - sin 20 °}{cos 20 °} =$ .

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19、已知复数 $z_{1} = 1 + m i$ ， $z_{2} = (m^{2} - 6 m + 7) - 2 i$ （ $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位）．

(1)、若 $z = z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $ω = \frac{z_{1}}{1 + i}$ 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中每一项 $a_{i} \in \{0, 1\}$ （其中 $i = 1, 2, \dots, m$ ， $m \in N^{*}$ ）构成 $m$ 数组 $A =$ $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m})$ .定义运算 $S$ 如下： $S (A) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots, b_{2 m - 1}, b_{2 m})$ ，其中当 $a_{i} = 0$ 时， $b_{2 i - 1} = 1$ ， $b_{2 i} = 0$ ；当 $a_{i} = 1$ 时， $b_{2 i - 1} = 0$ ， $b_{2 i} = 1 (i = 1, 2, \dots, m)$ ；用 $S^{n} (A)$ 表示 $n$ 层嵌套运算 $S (S (\dots S (A) \dots))$ ， $n \in N^{*}$ .现取 $A = (0, 1)$ ，记 $S^{n} (A)$ 中相邻两项组成的数对 $(a_{i}, a_{i + 1})$ 满足 $a_{i} = a_{i + 1} = 1$ 的数对个数为 $B_{n}$ .

(1)、写出 $S (A)$ ， $S^{2} (A)$ ，以及 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ；

(2)、证明：数列 $\{B_{n + 2} - B_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、若 $C_{n} = 3 (B_{n} + \frac{1}{2})$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \frac{1}{C_{4}} + \dots + \frac{1}{C_{n}} < \frac{7}{6}$ .

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