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相关试卷

1、函数 $g (x) = a x + 2 (a > 0)$ ， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，对 $\forall x_{1} \in [- 1, 2]$ ， $\exists x_{0} \in [- 1, 2]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ 成立，则a的取值范围是（　　）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[1, 2)$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq a \leq 0$ B、 $- 3 \leq a \leq - 2$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a < 0$

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3、下列函数中表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{4}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} + x}, g (x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = \{\begin{matrix} x, x \geq 0, \\ - x, x < 0 \end{matrix}$

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4、函数 $y = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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5、如图所示，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2$ ，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $M (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆 $C$ 上的动点，过原点 $O$ 引两条射线 $l_{1}, l_{2}$ 与圆 $M : {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = \frac{2}{3}$ 分别相切，且 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率 $k_{1}, k_{2}$ 存在. ①试问 $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线 $l_{1}, l_{2}$ 与椭圆 $C$ 分别交于点 $A, B$ ，求 $|O A| \cdot |O B|$ 的最大值.

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6、已知圆C： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，四点P₁(1，1)，P₂(0，2)，P₃(1， $\sqrt{3}$ )，P₄(1，- $\sqrt{3}$ )中恰有三点在圆C上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、设以k为斜率的直线l经过点Q(4，-2)，但不经过点P₂ ，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线P₂A与直线P₂B的斜率之和为定值．

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A C = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，并求直线 $D E$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成的角的正弦值.
条件①： $B C ⊥ A C_{1}$ ；条件②： $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

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8、2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组： $[0, 40)$ ， $[40, 80)$ ， $[80, 120)$ ， $[120, 160)$ ， $[160, 200)$ ， $[200, 240)$ ， $[240, 280]$ （观看时长均在 $[0, 280]$ 内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、采用分层抽样的方法在观看时长在 $[200, 240)$ 和 $[240, 280]$ 的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在 $[200, 240)$ 的概率.

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9、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x + t (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最大值为3，最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上的值域，并指出 $f (x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的值.

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10、已知 $△ A B C$ 的三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，而且满足 $\frac{a^{2} \sin B \sin C}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2}$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，边AB上的中点为D，求CD的长度.

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11、已知存在两个正数 $x$ 和 $y$ 满足 $\{\begin{cases} 4 x + \frac{1}{y} = a, \\ \frac{1}{x} + 9 y = 26 - a, \end{cases}$ 则实数 $a$ 的取值范围是．

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12、 $\min {a, b}$ 表示 $a, b$ 两个数中的最小值，则函数 $f (x) = \min {- 2 x^{2} + x + \frac{7}{8}, \log_{\frac{1}{2}} (x + \frac{1}{4})}$ 的最大值为.

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13、若 $A (3, 1)$ ， $B (- 2, k)$ ， $C (8, 1)$ 三点能构成三角形，则实数 $k$ 的取值范围为.

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14、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 2 A B = 2 A A_{1} = 4$ ， E是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过点B，E， $D_{1}$ 的平面 $α$ 交棱AD于点F，点P为线段 $D_{1} F$ 上一动点，则（）

A、三棱锥 $P - A B E$ 的体积为定值 B、存在点P，使得 $D P ⊥ α$ C、直线PE与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\sqrt{2}$ D、三棱锥 $P - B B_{1} E$ 外接球表面积的取值范围是 $[12 π, 44 π]$

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15、下列说法正确的是（）

A、 $y = a x - 2 a + 3 (a \in R)$ 直线必过定点 $(2, 3)$ B、直线 $y + 1 = 2 x$ 在y轴上的截距为1 C、直线 $x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角为 $150 °$ D、点 $A (2, - 3) ， B (- 3, - 2)$ ，直线 $l : m x + y - m - 1 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则实数m的取值范围是 $m \leq \frac{3}{4}$ 或 $m \geq 4$

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16、甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）

A、平均数为67 B、平均数为66 C、方差为296 D、方差为287

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17、下列不是古典概型的是（）

A、任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B、求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C、在甲、乙、丙、丁 $4$ 名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D、抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点

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18、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2, x \in [0, 1) \\ 2 - x^{2}, x \in [- 1, 0) \end{cases}$ 且 $f (x + 2) = f (x)$ ， $g (x) = \frac{2 x + 5}{x + 2}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 在区间 $[- 5, 1]$ 上的所有实根之和为（）

A、 $- 6$ B、 $- 7$ C、 $- 8$ D、 $- 9$

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19、已知棱长为a的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P为棱 $A A_{1}$ 上一点，过 $P B_{1} D_{1}$ 的平面截得三棱锥 $A_{1} - P B_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{24} a^{3}$ ，则异面直线 $P B_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{51}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{51}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{8}$

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20、已知 $A$ ， $B$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，若点 $P (1, 2)$ 在以 $A B$ 为直径的圆上，则 $|A B|$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ C、 $2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ D、 $2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})$

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