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相关试卷

1、已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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2、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ．过 $D$ 点的直线 $E F$ 与直线 $A B$ 相交于 $E$ 点，与直线 $A C$ 相交于 $F$ 点（ $E, F$ 两点不重合）．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ；

(2)、若 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{λ} + \frac{3}{μ}$ 的值．

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3、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量， $\vec{a} = (2, 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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4、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为 $2$ ，圆柱的底面半径为 $1$ ，高为 $4$ ，则该几何体的表面积为．

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5、定义运算 $a \otimes b = \{\begin{array}{l} b, a \leq b \\ a, a > b \end{array}$ ，例如 $1 \otimes 2 = 2$ ，则函数 $f (x) = \sin x \otimes \cos x$ 的值域为（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ B、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[- 1, - \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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6、已知 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{10})$

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7、若 $△ O A B$ 的直观图如图所示， $∠ B^{'} A^{'} O^{'} = \frac{π}{2}$ ， $B^{'} A^{'} = 1$ ，则顶点B到x轴的距离是（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8、已知集合 $A = {x ∣ x = 2 k π, k \in Z}$ ， $B = {x ∣ x = k π, k \in Z}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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9、在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{2} ， ∠ A B C = \frac{π}{4} ， A B$ // $D C, | \vec{A B} | = 3 ， | \vec{D C} | = 2$ .

(1)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ ；

(2)、若 $k \vec{A B} - \vec{A D}$ 与 $\vec{A C}$ 共线，求 $k$ 的值；

(3)、若 $P$ 为 $B C$ 边上的动点（不包括端点），求 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值.

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10、在 $△ A B C$ 中，a、b、c是角A、B、C所对的边，S是该三角形的面积，且 $\frac{\cos B}{\cos C} = - \frac{b}{2 a + c}$

(1)、求B的大小；

(2)、若 $a = 4$ ， $S = 5 \sqrt{3}$ ，求b的值.

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11、（1）化简： $1 + i + i^{2} + i^{3} + i^{4} + \dots + i^{9}$ ；
（2）方程 $x^{2} - p x + k = 0 (p \in R)$ 有一个根为 $1 + 2 i$ ，求实数 $k$ 的值.

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12、定义运算 $|\begin{array}{l} a c \\ b d \end{array}| = a d - b c$ ，复数z满足 $|\begin{array}{l} z i \\ 1 i \end{array}| = 1 + i$ ，则 $z =$ .

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13、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ ．

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14、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{a}, \vec{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，下列结论中正确的有（　　）

A、 $\vec{a}$ 是单位向量 B、 $\vec{B C}$ ∥ $\vec{b}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ D、 $\vec{B C} ⊥ (4 \vec{a} + \vec{b})$

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15、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的向量，则以下 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 可作为该平面内一组基底的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}}$ B、 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \frac{1}{4} \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{a} = - \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 3, b = 2, C = 2 B, △ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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17、已知 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P, Q$ 分别为 $A B, A C$ 上的点， $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = x \vec{A C}$ ， $P Q$ 交 $A D$ 于点 $O$ ，若 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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18、在四边形 $A B C D$ 中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是 $(- 2, 0)$ ， $(- 1, 3)$ ， $(3, 4)$ ， $(2, 3)$ ， E，F分别为 $A B, C D$ 的中点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、10 B、12 C、14 D、16

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 2$ 或1 D、 $- 1$ 或2

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20、给出下列命题，正确的有（）

A、若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B、已知 $λ, μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 C、 $\vec{a} = \vec{b}$ 的充要条件是 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $A, B, C, D$ 是不共线的四点，且 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形

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