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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (λ, 4)$ ， $λ \in R$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、0 B、7 C、 $- 8$ D、1

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2、若复数 $z_{1}$ ､ $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 $z_{1} = 2 + i$ ，则 $i \cdot z_{2} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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3、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{2 n - 1} = a_{n}$ ， $c_{2 n} = {(- 1)}^{n} a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ，

(3)、求 $\sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{i} \frac{4 (i + 1)}{a_{i} a_{i + 1}} (n \in N^{*})$ 的最大值和最小值．

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 2 {cos}^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间及在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $θ$ 为锐角且 $f (θ) = - \frac{2}{5}$ ，求 $cos 2 θ$ 的值.

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5、已知圆 $C_{1}$ 经过 $A (0, 0), B (1, 3), C (- 1, - 1)$ 三点.

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 = 0$ 相交于 $M, N$ 两点，求直线 $M N$ 的方程以及公共弦 $M N$ 的长.

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， O$ 为坐标原点，直线 $y = k x$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_{1}$ ，且 $\vec{P A} = \frac{2}{3} \vec{P P_{1}}$ ，若直线 $Q A$ 与椭圆 $C$ 交于点 $B$ ，且 $\vec{P B} \cdot \vec{P Q} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项按如下规律排列： $1, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \dots, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n}{n}, \dots, n \in N_{+}$ ，若存在正整数 $k$ ，使 $S_{k} \leq 11, S_{k + 1} > 11$ ，则 $a_{k} =$ .

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8、已知双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $C (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的左、右两支分别交于 $P, Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、当 $C$ 为线段 $P Q$ 的中点时，直线 $l$ 的斜率为 $2 \sqrt{3}$ B、若 $A (- 1, 0)$ ，则 $∠ Q F_{2} A = 2 ∠ Q A F_{2}$ C、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| < {|P O|}^{2}$ D、若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $B (0, \sqrt{3})$ ，则 $|P F_{1}| + |Q F_{1}| = |P B| + |Q B|$

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9、过点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 作直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，当 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ 时，直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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10、在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{6} a_{8} = 64$ ，且 $a_{7}$ ， $\frac{a_{10}}{3}$ ， 10成等差数列，则 $a_{9}$ 的值为（）

A、 $\frac{81}{2}$ B、 $\frac{32}{9}$ C、18 D、24

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11、已知 $α$ 是第二象限角，且 $sin α = \frac{5}{13}$ .

(1)、求 $cos α, tan α$ 的值；

(2)、先化简，再求值： $\frac{sin (α + \frac{5 π}{2}) cos (2024 π - α)}{cos (π - α)} + \frac{cos (α - \frac{2023 π}{2}) sin (π - α)}{sin (π + α)}$ .

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12、函数 $f (x) = \frac{10^{x} + 10}{10^{x} - 10}$ 的值域是.

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13、用“二分法”求方程 $x^{3} + x - 3 = 0$ 在区间 $(0, 2)$ 内的实根，首先取区间中点 $x = 1$ 进行判断，那么下一个取的点是 $x =$ ．

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14、 $4^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{1}{3})}^{0} - lg 5 - lg 2 =$ .

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有3个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有4条对称轴 B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{π}{2}$ C、 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{11}{4}, \frac{15}{4}]$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{15})$ 上单调递增

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16、下列函数是奇函数，且满足对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{2}) - f (x_{1})] > 0$ 的是（）

A、 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} x^{2}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{2^{x} + 1}$ D、 $f (x) = lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

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17、2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（）年（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ ， $\lg 1.014 = 0.00604$ ）

A、8.3 B、8.5 C、8.7 D、8.9

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18、已知 $m$ 是常数，幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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19、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - \ln x}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(e, + \infty)$ B、 $(1, e]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(0, 1) \cup (1, e]$

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20、已知数列 $\{p_{n}\}, \{q_{n}\}$ ，给出以下两个定义：
①若 $|p_{n}| = |q_{n}| = m > 0$ ，且对于任意 $i = 1, 2, \dots, n$ ，都有 $p_{i} \neq q_{i}$ ，则称 $\{p_{n}\}$ 与 $\{q_{n}\}$ 为“ $m$ 型相关数列”；
② $S_{n} (p_{i}, q_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{p_{i}}{q_{i}}, T_{n} (p_{i}, q_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} |p_{i} - q_{i}|$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为“ $m$ 型相关数列”，证明： $T_{n} (a_{i}, b_{i}) = - 2 m S_{n} (a_{i}, b_{i})$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为“1型相关数列”.
（i）若 $T_{8} (a_{i}, |b_{i}|) = 6$ ，从 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 中随机抽取4项， $X$ 表示这4项的和，求 $X$ 的期望 $E (X)$ ；
（ii）若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $|c_{n}| = 1$ ，且 $S_{12} (a_{i}, b_{i}) = 4 S_{7} (a_{i}, c_{i})$ ，求 $S_{2025} (b_{i}, c_{i})$ 的最大值.

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