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相关试卷

1、某无人机爱好者在 $2025$ 年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为 $A, B, C, D, E, F$ 六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同， $B$ 区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有种.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1}$ ，若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则点 $A_{1}$ 到平面BDE的距离为.

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3、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, - 3)$ 处的切线方程为.

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4、若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x, y \in R$ ，恒有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类余弦型”函数.已知函数 $f (x)$ 为“类余弦型”，若 $f (x) > 0$ ，且对任意非零实数 $x$ ， $f (x) > 1$ .则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $f (2) = \frac{17}{8}$ ，则 $f (1) = \frac{5}{2}$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、若有理数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，则 $f (x_{2}) > f (x_{1})$

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5、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ， $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l过点 $F_{2}$ 与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得 $△ P M N$ 的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（）

A、椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $△ M N F_{1}$ 的周长为4 C、定点P的坐标为 $P (4, 0)$ D、当 $M N ⊥ x$ 轴时， $△ P M N$ 的内切圆圆心坐标为 $(\frac{1 + 3 \sqrt{5}}{4}, 0)$

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6、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 内单调递增

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7、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(1, + \infty)$ 上连续可导函数，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $f (\ln x) > 2 \ln x$ 的解集为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(3, e^{2})$ C、 $(1, e^{3})$ D、 $(e, e^{3})$

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8、若P是△ABC所在平面内一点，则“ $|\vec{P A} - \vec{P B}| = |\vec{P A} + \vec{P B} - 2 \vec{P C}|$ ”是“△ABC为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且 $A F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|A F_{1}| = 3$ ， $|F_{1} F_{2}| = 3 \sqrt{3}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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10、已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 \sqrt{13}}{13} π$ ，则圆锥PO的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3} π$ B、 $4 π$ C、 $4 \sqrt{13} π$ D、 $12 π$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} b \sin C = 2 c \cos^{2} \frac{B}{2}$ .则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12、已知事件 $A$ ， $B$ 是相互独立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{11}{12}$

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13、设复数z满足 $z (1 + i^{2025}) = - 2 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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14、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 3 x < 0\}$ ， $C = \{1, 2\}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \cap B = C$ D、 $A \cup B = C$

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15、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $△ A C D$ 为正三角形， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，现将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ S A C$ ，形成三棱锥 $S - A B C$ ，其中 $S$ 为动点.

(1)、证明： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $S C ⊥ B C$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，求球心 $O$ 到平面 $S A C$ 的距离；

(3)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角余弦值的最小值.

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16、如图，在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的点，连接 $C E$ ， $C F$ ， $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿着折线 $E F$ 翻折，使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 位置，连接 $A_{1} C$ ，形成三棱锥 $A_{1} - C E F$ .

(1)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的中点， $A_{1} E ⊥ C F$ ，求此时三棱锥 $A_{1} - C E F$ 外接球的表面积；

(2)、若 $E F = B E + D F$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点.
（ⅰ）求 $∠ E C F$ 的大小；
（ⅱ）若正方形边长为 $\sqrt{2} + 1$ ，当 $S_{△ C E F}$ 取最小值， $V_{A_{1} - C E F}$ 取最大值时，求此时直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} O F$ 所成角的正弦值.

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）记 $f (x)$ 较小的一个零点为 $x_{0}$ ，证明： $x_{0} f^{'} (x_{0}) > - 2$ .

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18、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 4$ .
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，求证：直线 $B D$ 恒过定点，并求出该点的坐标.

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19、在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题：

(1)、估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 $[30, 60)$ 的概率；

(3)、已知该地区这种疾病的患病率为 $1 %$ ，该地区年龄位于区间 $[40, 50)$ 的人口占该地区总人口的 $16 ％$ .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 $[40, 50)$ ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1}) (n \in N *)$ 在直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 上

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，证明数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < 4$ .

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