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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{B M}$ 等于（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$

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2、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = x \cdot 2^{x - 1}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ D、 ${(x ln x)}^{'} = 1 + ln x$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4、已知曲线 $C : x y = 2$ ，过 $C$ 上点 $M (1, 2)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与 $C$ 的另一交点为 $A$ ， $l_{2}$ 与 $C$ 的另一交点为 $B$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的对称轴（不需证明）

(2)、证明：曲线 $C$ 是双曲线；

(3)、若 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + 2, n 为偶数 \end{array}$

(1)、证明 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{2 n}$ ；

(3)、求证： $\frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{4}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{S_{2 n - 2}} + \frac{1}{S_{2 n}} < \frac{2}{3}$

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6、如图，在五面体 $A B C D E$ 中， $△ A B C$ 为边长为2的等边三角形， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D // A E$ ， $C D = \frac{1}{2} A E$ .

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若直线 $E D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

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7、2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员．

(1)、设“女生甲被选中”为事件 $A$ ， “男生乙被选中”为事件 $B$ ，求 $P (B |A)$ ；

(2)、设所选3人中男生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $B$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $B F_{1}$ 相切于点 $P$ ，若 $\frac{|P F_{1}|}{|P B|} = \frac{1}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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9、已知 $sin (α + β) = 2 cos (α - β)$ ， $tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $tan α \cdot tan β =$ ．

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10、 $(x + 1) {(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

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11、如图，在边长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、存在 $P$ 满足 $A P + P C_{1} = 2 \sqrt{10}$ B、若 $D P / /$ 平面 $C E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $A P = 3 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $C E F$ 距离最小值为 $\frac{8}{3}$ D、若 $P$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球的表面积是 $41 π$

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $y_{1} y_{2} = - 1$ C、 $|A F| \cdot |B F| \geq 4$ D、若 $B$ 在抛物线准线上的射影为 $B^{'}$ ，则 $A, O, B^{'}$ 三点共线

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13、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $M (1, 0)$ ， $N (5, 0)$ ，则（）

A、 $ω = \frac{π}{4}$ B、 $φ = - \frac{π}{4}$ C、函数 $y = f (x) - \frac{1}{3} x$ 有5个零点 D、 $f (x)$ 在 $[6, 8]$ 上单调递增

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14、一枚质地不均匀的正四面体骰子，各面分别标有1，2，3，4，掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次成等差数列，独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 $a, b$ ，若事件“ $a + b = 5$ ”发生的概率为 $\frac{19}{81}$ 则事件“ $a = b$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{43}{162}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{53}{162}$ D、 $\frac{29}{81}$

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15、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A C = 2 C D = 4$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ B C D = 135 °$ ，若平面四边形 $A B C D$ 绕 $C D$ 旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $8 π$

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ， ”是“ $\{a_{n}\}$ 是递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、若直线 $y = k x - 1$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $\frac{e}{2}$ D、 $e$

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18、已知集合 $A = \{x |1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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19、在复平面内，复数 $z$ 与 $\frac{2}{1 - i}$ 对应的点关于实轴对称，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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20、在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数 $y = f (x)$ 描述，光线的曲率 $k (x)$ 决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为： $k = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}$ ．
其中， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} + a)$ ，定义在区间 $x \in [0, 2]$ 上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率 $k (x)$ 决定其聚焦能力．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的曲率k；

(2)、已知实数 $a > 0$ ，对于任意的 $x \in [0, 2]$ ，若 $f (x) \geq a - 1$ 恒成立，
i.求a的值；
ⅱ.证明：对于任意 $x \in [0, 2]$ ，曲率 $k (x)$ 满足不等式 $0 \leq k (x) \leq 2$ ，并解释其光学意义．（参考数据： $\sqrt{41} \approx 6.403$ ）

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