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相关试卷

1、已知在边长为 $3$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B A}$ ，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E C} =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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2、下列说法正确的是（）

A、直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B、有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥

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3、已知 $i$ 是虚数单位， $\frac{2}{1 + i} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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4、下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ， $B C = 4$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 8$ C、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数 $x$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \frac{1}{2})$ D、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，则“ $\sin A > \sin B$ ”的充要条件是“ $A > B$ ”

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5、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数．当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，它们与正、余弦函数有许多类似性质．

(1)、判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；

(2)、（ⅰ）证明 ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$ ；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；

(3)、若函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (cosh 2 x + a cosh x)$ 在 $R$ 上最大值为0，求实数 $a$ 的值．

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6、已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 4 x + 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上有且仅存一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{2} + x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值，及 $f (x)$ 取最小值时的 $x$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的最小正周期和单调递减区间．

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，点 $P (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ 在角 $α$ 的终边上.

(1)、求 $tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin α + 2 cos α}{2 sin α - cos α}$ 的值.

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9、已知正实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 2$ ，则 $3 a + b$ 的最小值为．

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10、已知 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $α$ 为锐角，则 $cos α =$ ．

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11、若 $2^{x} > 1$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的以4为周期的函数，对任意整数 $k$ ，区间 $I_{k} = [4 k - 2, 4 k + 2]$ ．当 $x \in I_{0}$ 时， $f (x) = 2^{|x|} - 1$ ．集合 $M_{k} = {a | f (x) = a x$ 在 $I_{k}$ 上有两个不相等的实根 $}$ ，则（）

A、 $f (3) = 1$ B、 $(- 2, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 C、 $f (x) = f (4 - x)$ D、若 $k > 0$ ，则 $M_{k} = (0, \frac{3}{4 k + 2}]$

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13、下列运算正确的有（）

A、 $lg 3 + lg 4 = lg 7$ B、 ${log}_{2} 100 = 10 {log}_{2} 10$ C、 $4^{{log}_{4} 5} = 5$ D、 ${log}_{3} 4 \cdot {log}_{4} 3 = 1$

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14、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上单调递增的奇函数．若 $f (1 + m) + f (2 m - 4) > 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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15、如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ B、 $y = \sqrt{|x|}$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = x^{\frac{2}{3}}$

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16、设 $a \in R$ ，则“ $a \geq 2$ ”是“ $a > 2$ ”的（）条件．

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分又非必要

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17、集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ D、 $\emptyset$

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18、已知函数 $f (x) = x ln x - 1$ ， $g (x) = a x^{2} - (a - 2) x ．$

(1)、若 $m - 1 < f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = f^{'} (x) - g (x)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(3)、设函数 $G (x) = g (x) + (a - 2) x$ ，若函数 $f (x)$ 的图象与 $G (x)$ 的图象有 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两个不同的交点，证明： $ln (x_{1} x_{2}) > 2 + ln 2 ．$

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19、已知点 $P$ 在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D, D$ 为垂足， $M$ 为线段 $P D$ 的中点（当点 $P$ 经过圆与 $x$ 轴的交点时，规定点 $M$ 与点 $P$ 重合）．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、经过点 $(\sqrt{3}, 0)$ 作直线 $l$ ，与圆 $O$ 相交于 $A, B$ 两点，与点 $M$ 的轨迹相交于 $C, D$ 两点，若 $|A B| \cdot |C D| = \frac{8 \sqrt{10}}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D / / E A$ ， $A D = P D = 2 E A = 2$ ， $F, G, H$ 分别为 $B P, B E, P C$ 的中点．

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $P D E$ ；

(2)、求平面 $F G H$ 与平面 $P B C$ 夹角的大小．

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