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相关试卷

1、甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望 $E (X) =$ .

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2、已知 $A (- 1, 0), B (3, 0), P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 36$ 上的一个动点，则 $sin ∠ A P B$ 的最大值为．

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3、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边， $\cos^{2} \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \cos B \cos C + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\tan B \tan C = 2$ B、 $\tan A = \tan B + \tan C$ C、 $A < \frac{π}{3}$ D、 $a > b$ ， $a > c$

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4、下列命题正确的是（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{12}$ 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B、若事件A，B相互独立，且 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件A，B不互斥 C、若随机变量 $X ~ N (0, 2^{2})$ ， $Y ~ N (0, 3^{2})$ ，则 $P (|X| \leq 2) = P (|Y| \leq 3)$ D、若随机变量 $X$ 的方差 $D (X) = 10$ ，期望 $E (X) = 4$ ，则随机变量 $Y = X^{2}$ 的期望 $E (Y) = 26$

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5、如图，半径为1的 $⊙ O_{1}$ 与半径为2的 $⊙ O_{2}$ 内切于点A， $⊙ O_{1}$ 沿 $⊙ O_{2}$ 的圆弧无滑动的滚动一周.若 $⊙ O_{1}$ 上一定点P从A点出发随着 $⊙ O_{1}$ 的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（）

A、C是半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆 B、C是半径为1的圆 C、C是长度为2的线段 D、C是长度为4的线段

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6、已知函数 $f (x) = \ln x + x - \frac{1}{x}$ ，若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{10} = \frac{4}{5}$ B、 $a_{n} = 2 - n$ C、 $\{a_{n}\}$ 有最大值 D、 $\{a_{n}\}$ 不是单调数列

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = {|\vec{A B}|}^{2}$ ，则 $ω$ 等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9、一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A A_{1} = 18$ ，底面 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的高为 $h$ .当底面 $A B C$ 水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时（如图②），水面高度为（）

A、 $\frac{1}{3} h$ B、 $\frac{1}{2} h$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} h$ D、 $\frac{2}{3} h$

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10、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、若 $\frac{z + 1}{z - 1} = 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x - 3 > 0\}$ ， $B = \{x |0 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, - 3)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (1, 2)$

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13、对于一个递增正整数数列 $\{a_{n}\}$ ，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有交错数列的个数记为 $A_{n}$ ．例如，当 $n = 1$ 时，取自集合 $\{1\}$ 的交错数列只有1一种情况，则 $A_{1} = 1$ ；当 $n = 2$ 时，取自集合 $\{1, 2\}$ 的交错数列有1和1，2两种情况，则 $A_{2} = 2$ ．

(1)、求 $A_{3}$ 和 $A_{4}$ 的值；

(2)、证明：取自集合 $\{1, 2, \dots, n\} (n \geq 3)$ 的首项不为1的交错数列的个数为 $A_{n - 2}$ ；

(3)、记数列 $\{A_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使得 $S_{n} > 2025$ 成立的 $n$ 的最小值．

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14、如图1，已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线交 $x$ 轴于点 $D$ ，过点 $F$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限）．当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $|O A| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、如图2，把 $△ A D F$ 沿 $D F$ 翻折为 $△ P D F$ ，使得二面角 $P - D F - B$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ．
①若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值；
②证明：三棱锥 $D - P B F$ 的体积为定值．

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15、近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
$2023$ 年 $12$ 月
$2024$ 年 $1$ 月
$2024$ 年 $2$ 月
$2024$ 年 $3$ 月
$2024$ 年 $4$ 月
月份代码 $x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
销量 $y /$ 千辆
$14$
$15$
$16$
$18$
$19$

(1)、若 $y$ 与 $x$ 线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在 $2025$ 年1月份的销量；

(2)、该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工 $100$ 人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润 $12$ 万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润 $18$ 万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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16、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{cos A} + \frac{b}{cos B} = \frac{c}{sin C}$ ．

(1)、证明： $cos A cos B = sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{c^{2}}{10 sin C}$ ，求 $cos C$ ．

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17、 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $A, C$ 两点在双曲线上且关于原点对称（点 $A$ 在第一象限），直线 $C F_{2}$ 与双曲线的另一个交点为点 $B$ ，若 $|A F_{1}| - |B F_{2}| = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $f (f (3)) =$ ．

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19、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，记 $\{x\} = x - [x]$ ，则对任意实数 $x, y$ ，有（）

A、 $\{- x\} = \{x\}$ B、 $\{2 x\} = 2 \{x\}$ C、 $\{x\} + \{y\} \leq \{x + y\}$ D、 $\{x\} - \{y\} \leq \{x - y\}$

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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时间	$2023$ 年 $12$ 月	$2024$ 年 $1$ 月	$2024$ 年 $2$ 月	$2024$ 年 $3$ 月	$2024$ 年 $4$ 月
月份代码 $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
销量 $y /$ 千辆	$14$	$15$	$16$	$18$	$19$