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相关试卷

1、十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（）

A、如果 $a > b$ ， $c < d$ ，那么 $a - c > b - d$ B、如果 $a > b > 0$ ，那么 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ C、若 $- 1 < a < 5$ ， $2 < b < 3$ ，则 $- 2 < a b < 15$ D、如果 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ， $e < 0$ ，那么 $\frac{e}{a - c} > \frac{e}{b - d}$

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2、函数 $f (x) = 2 x {log}_{3} |x| - 2 x + \frac{1}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知函数 $f (x) = x + a \sin x + 2$ ，且 $f (m) = 5$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $- 1$ D、 $3$

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4、已知集合 $A = \{x| - 2 \leq x \leq 3\}, B = \{x| 2^{x} \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[- 2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 3]$

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5、零件 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}$ 分别先在机器 $A$ 上加工，然后在机器 $B$ 上加工，加工所需时间（单位：分钟）如表所示．
①若加工顺序为 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}$ ，则加工完所有零件所需时间最少为分钟；
②改变这5个零件的加工顺序，可以使得加工完所有零件所需时间更少，所需时间最少为分钟，共有种排序方法使得所需时间最少．
机床
零件
$A$
$B$
$X_{1}$
1
5
$X_{2}$
8
3
$X_{3}$
3
9
$X_{4}$
4
5
$X_{5}$
7
6

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若对任意的正实数 $a$ ，函数 $y = f (x + a) - f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $M$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $f (x)$ 具有性质 $M$ ；
② $y = x^{2}$ 具有性质 $M, y = x^{3}$ 不具有性质 $M$ ；
③ $y = 2^{x}$ 具有性质 $M, y = 2^{- x}$ 不具有性质 $M$ ；
④若函数 $f (x)$ 具有性质 $M$ ，且 $f (0) = 0$ ，则 $\forall s, t \in (0, + \infty), f (t + s) > f (t) + f (s)$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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7、为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“ $A s$ ”或同为“ $W r$ ”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“ $L u$ ， $L r$ ”，另外2人左手拇指指纹都是“ $W s$ ”，右手拇指指纹都不是“ $W s$ ”的概率是
纹形
拇指
左手
右手
左右手纹形相同
$A s$
20
2
2
$L u$ ， $L r$
279
304
250
$W r$
3
6
2
$W c$
32
27
10
$W t$
30
28
9
$W s$
59
79
34
$W d$
65
37
18
$W p$
12
17
8
总人数
500
500
333

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8、已知 $f (x) = x + \frac{a}{x} - 2$ ，其中 $a > 0$ .若 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是；若 $\exists x \in [1, 2], f (x) \geq 2$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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9、已知 $f (x) = a e^{x} + e^{- x}$ ．若 $f (0) = 3$ ，则实数 $a =$ ；若 $y = f (x)$ 的图像关于原点对称，则实数 $a =$ ．

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10、在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双自变量的函数，其表达式为： $Q = A L^{α} K^{β}$ ，其中自变量 $L, K$ 分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值 $Q$ 表示产量，常数 $A$ 是代表生产技术水平的参数，常数 $α, β$ 分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量 $Q$ 不变的情况下，点 $(L, K)$ 组合构成一条曲线，称为等效产出曲线．如图，某企业 $Q = 10, 20, 30$ 时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点 $(L_{1}, K_{1}), (L_{2}, K_{2}), (L_{3}, K_{3})$ ，若 $L_{1} = 2, L_{2} = 3$ ，则 $L_{3}$ 约为（）
参考数据： ${log}_{2} 3 \approx 1.585, 3^{0.5} \approx 1.732, 3^{0.55} \approx 1.830, 3^{0.6} \approx 1.933$

A、3.2 B、3.4 C、3.6 D、3.8

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11、若 $a \cdot 2^{a} = 2 b \cdot {log}_{4} (2 b) (a \geq 0)$ ，则（）

A、 $2 a < b$ B、 $2 a > b$ C、 $2^{a} < b$ D、 $2^{a} > b$

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} (x - 3) e^{1 - x} + 1$ 的单调递增区间是 $(- \infty, 0), (3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})$ ，单调递减区间是 $(0, 3 - \sqrt{3}), (3 + \sqrt{3}, + \infty), f (x)$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、 $\{x \in Z|9 \lg x > x - 1\}$ 为（）

A、空集 B、元素个数不超过10的非空集 C、元素个数超过10的有限集 D、无限集

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14、从定义域及值域均为 $\{1, 2, 3\}$ 的函数中随机选一个记为 $f (x)$ ，则 $\frac{f (3) - f (2)}{f (2) - f (1)} > 0$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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15、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, - 1)$ ，且与直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $2 x + 3 y - 7 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 8 = 0$ C、 $2 x - 3 y - 1 = 0$ D、 $3 x - 2 y - 8 = 0$

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16、已知① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{4}$ ， ③ $c = 2 \sqrt{3} b$ 在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $(b - a) (sin B + sin A) = c (\sqrt{3} sin B - sin C)$
（1）求角A的大小；
（2）已知_______，_______，若 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积；若不存在，说明理由．

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17、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}, A D = 6, ∠ D A B = 30 °, ∠ B C D = 120 °$ ．

(1)、当 $B C = C D$ 时，求四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 的长度；

(2)、设 $∠ C B D = θ$ ，记四边形 $A B C D$ 的面积为 $f (θ)$ ，求的表达式，并求出它的最大值．

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18、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ $\vec{m} = (2 cos C, a cos B + b cos A),$ $\vec{n} = (c, - 1)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}, a + b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的高 $h$ ．

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19、（1）已知：复数 $z = {(1 + i)}^{2} + \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，求 $z$ 及 $|z|$ ；
（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根是 $1 + \sqrt{2} i$ ，其中 $m, n \in R$ ， $i$ 是虚数单位，求 $m - n$ 的值．

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20、如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为海里.

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机床零件	$A$	$B$
$X_{1}$	1	5
$X_{2}$	8	3
$X_{3}$	3	9
$X_{4}$	4	5
$X_{5}$	7	6

纹形	拇指
纹形	左手	右手	左右手纹形相同
$A s$	20	2	2
$L u$ ， $L r$	279	304	250
$W r$	3	6	2
$W c$	32	27	10
$W t$	30	28	9
$W s$	59	79	34
$W d$	65	37	18
$W p$	12	17	8
总人数	500	500	333