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相关试卷

1、甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B ∣ A_{1}) = \frac{2}{3}$ C、 $P (A_{2} B) = \frac{3}{10}$ D、 $P (B) = \frac{17}{30}$

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2、已知 $a = \sqrt{5}$ ， $b = \ln (\sqrt{5} + 1)$ ， $c = \frac{5 - \sqrt{5}}{4}$ ，试比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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3、若 ${(- \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 x)}^{n}$ 的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）

A、 $- 240$ B、 $- 60$ C、60 D、240

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4、语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是 $y = - x + 8$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (5 + Δ x) - f (5)}{Δ x} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、1 D、3

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6、下列求导过程错误的选项是（）

A、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a$ D、 ${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$

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7、无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙 $S200$ 系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离 $X$ （千米）服从正态分布 $X ~ N (15, σ^{2})$ ，记 $P (X > 15 - σ) = a$ ， $P (15 - σ < X < 15 + 3 σ) = b$ ，当 $σ$ 变小时，则（）

A、 $a$ 变大 B、 $b$ 变小 C、 $a + b$ 不变 D、 $a - b$ 变小

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8、学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（）

A、10种 B、35种 C、105种 D、210种

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9、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - 3 x + b$ ，且当 $x = 3$ 时， $f (x)$ 有极值－5．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 4, 4]$ 上的值域．

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10、已知函数 $f (x) = x \ln x .$
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点（e， $f (e)$ ）的切线方程；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} + e^{x}$ ，则 $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (1 + △ x) - f (1)}{△ x} =$ （）

A、 $2 + e$ B、 $- 2 - e$ C、 $3 e$ D、 $2 e$

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12、复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 2 - i|$ 的最大值为.

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 0, - 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, 0, - \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{1}{5}, 0, \frac{2}{5})$

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14、若函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 2}{2^{x}}$ .为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 2$ D、无解

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ .若 $(t \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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16、已知实数a，b，则 $a > b$ 是 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.

(1)、在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；

(2)、设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件 $Y = y$ 条件下的期望定义为 $E (X |Y = y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i} |Y = y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \frac{P (X = x_{i}, Y = y)}{P (Y = y)}$ ，其中 $\{x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}\}$ 为X的所有可能取值的集合， $P (X = x, Y = y)$ 表示事件“ $X = x$ ”与“ $Y = y$ ”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求 $E (X |Y = 1)$ ；

(3)、若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用 $n (n = 2, 3, 4, \cdot \cdot \cdot)$ 次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为 $a_{n}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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18、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B C D$ 为矩形，且 $A B = 2 B C = 2$ ， $S B = \sqrt{3}$ ， $∠ S C B = ∠ S C D = 60 °$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若 $N S ∥ B C$ （N在S的左侧），设三棱锥 $N - S A B$ 体积为 $V_{1}$ ，四棱锥 $S - A B C D$ 体积为 $V_{2}$ ，且 $V_{1} = \frac{1}{2} V_{2}$ .
①求点 $A$ 到平面 $S N C$ 的距离；
②求平面 $S N C$ 与平面 $A B N$ 所成夹角的正弦值.

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19、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，F，T分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $△ T A B$ 的面积为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、若斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆C于G，H两点，N为以线段 $G H$ 为直径的圆上一点，求 $|O N|$ 的最大值.

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20、设函数 $f (x) = (x - a) {(x - b)}^{2}$ ， $a, b \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ ， $b \geq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \neq b$ ，且 $f (x)$ 和 $f^{'} (x)$ （ $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数）的零点均在集合 $\{2, 1, - 1\}$ 中，求 $f (x)$ 的极小值.

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