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相关试卷

1、空间一点P在xOy平面上的射影为 $M (2, 4, 0)$ ，在xOz平面上的射影为 $N (2, 0, 7)$ ，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（）

A、 $(2, 4, 7)$ B、 $(0, 0, 7)$ C、 $(0, 4, 7)$ D、 $(0, 2, 7)$

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2、若一条直线经过两点 $(1, 0)$ 和 $(- 2, \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“平方递推数列”．已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 8$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在函数 $f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ 的图象上，其中n为正整数．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 2\}$ 是“平方递推数列”，且数列 $\{\lg (a_{n} + 2)\}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = lg (a_{n} + 2), c_{n} = 2 n - 1, d_{n} = \{\begin{matrix} c_{n}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{matrix}$ ，数列 $\{d_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2 n} - 2 n^{2} + n + 10 \geq λ b_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点．若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6$ ，且 $|P F_{1}|$ 的最小值为 $1$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $M (4, 0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，记直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围．

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5、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + a = 0$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = - 4$ ，过 $A (4, 0)$ 作圆 $M$ 的切线，求切线的方程．

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6、已知 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $P, Q$ 分别为 $A F, B F$ 的中点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $A (2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的准线为 $x = - 1$ B、若直线 $l$ 过点 $F$ ，则 $|P Q| = 5$ C、抛物线 $C$ 上到直线 $A F$ 距离为 $1$ 的点共有 $2$ 个 D、 $△ A P F$ 的周长大于 $3 + \sqrt{5}$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\{T_{n}\}$ 不可能是等差数列 B、若 $S_{6} = S_{8}$ ，则 $S_{2} = S_{12}$ C、 $\{\frac{S_{n}}{n} + lg b_{n}\}$ 是等差数列 D、若 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 单调递减，则 $\{b_{n}\}$ 单调递增

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9、下列命题中正确的是（）

A、若空间向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、点 $M (3, 2, 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是 $(- 3, 2, - 1)$ D、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} + a_{n}}{2} = {(\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{2})}^{2}$ ，则 $a_{20}$ 的最大值为（）

A、420 B、380 C、342 D、6

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11、若直线 $l : k x + y + 2 k - 1 = 0$ 与 $⊙ C : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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12、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{9} = 27$ ． $a_{3} \cdot a_{7} = 5$ ，则等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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13、已知直线 $y = x + 3$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 有公共点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(- \infty, 0]\cup[4, + \infty)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[4, 5) \cup (5, + \infty)$

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14、已知圆 $C_{1} : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外离 C、外切 D、内含

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15、4与9的等比中项为（）

A、6 B、 $- 6$ C、 $\pm 6$ D、6.5

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16、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，记其面积为 $S$ ，则有 $4 S = a^{2} + b^{2} - c^{2}$

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ，求 $S$ 的最大值．

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17、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{a} - k \vec{b}$ ，且 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，求 $k$ 的值．

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18、如图，正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ， $P$ 是线段 $B E$ 上的动点且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ （ $x > 0, y > 0$ ），则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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19、在 $△ A B C$ 中， $O$ 是边 $B C$ 的中点， $\vec{A P} = t \vec{A O}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交直线 $A B, A C$ 分别于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ .

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20、已知 $\{e_{1}, e_{2}\}$ 是平面 $α$ 内所有向量的一组基，且 $\vec{a} = e_{1} + e_{2}, \vec{b} = 3 e_{1} - 2 e_{2}, \vec{c} = 2 e_{1} + 3 e_{2}$ ，若 $\vec{c} =$ $λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ．

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