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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (x + a)$ .
（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（2）当 $a = 1$ 时，求函数 $F (x) = x - \frac{1}{2} t x^{2} - f (x) (t \in R)$ 的单调区间；
（3）当 $a = 0$ 时，函数 $y = g (x)$ 的图像与 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称.若不等式 $[k \cdot g (x) - 1] \cdot x \geq f (x) + 1$ 对 $x > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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2、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，一个焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = \frac{1}{3}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

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3、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 夹角的余弦值．

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4、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 5$ ， $S_{5} = - 20$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{2 x}} + 2 x^{2}$ ， $g (x) = 4 m - ln x$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x g (x)$ 有解，则 $m$ 的最小值是.

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6、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 2 a = 0$ 有3个实数解，则实数 $a$ 的取值范围为．

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7、若直线 $x + y + 2 a = 0$ 与曲线 $y = x - 2 \ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为.

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8、一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 $h$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的函数关系为 $h (t) = 2 t^{2} + 2 t$ ，则下列说法正确的是（）

A、前 $3 s$ 内球滚下的垂直距离的增量 $Δ h = 20 m$ B、在时间 $[2, 3]$ 内球滚下的垂直距离的增量 $Δ h = 12 m$ C、前 $3 s$ 内球在垂直方向上的平均速度为 $8 m / s$ D、第 $2 s$ 时刻在垂直方向上的瞬时速度为 $10 m / s$

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9、若函数 $f (x) = 2 x^{2} - ln x$ 在其定义域的一个子区间 $(k - 1, k + 1)$ 内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A、 $[1, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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10、若函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 2 a ln x$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} + 1$ 的极小值为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、1或 $- 1$ D、0

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12、若 $l$ $∥$ $α$ ，且 $\vec{m} = (2, 2 t, 1)$ 为直线 $l$ 的一个方向向量， $\vec{n} = (1, \frac{1}{2}, 2)$ 为平面 $α$ 的一个法向量，则 $t$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、 $- 4$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、－1 C、－2 D、0

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14、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 10$ ， $a_{6} = 5$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、0 B、5 C、10 D、15

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15、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

(3)、如图，若 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、已知 $f (x) = {c o s}^{2} (\frac{ω}{2} x + \frac{π}{3}) - {c o s}^{2} (\frac{ω}{2} x - \frac{π}{6}) (ω > 0) .$

(1)、若 $ω = 2$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，求 $sin 2 α;$

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{2 π}{9})$ 上单调，且在 $(0, 2 π)$ 上恰有3个最值点，求 $ω$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} .$

(1)、求 $f (ln \frac{3}{2} + ln 2)$ ， $g (2 ln 2);$

(2)、求 $[f (x)]^{2} -[g (x)]^{2}$ 的值；

(3)、已知实数a满足 $f (a) = \frac{3}{2}$ ，求 $g (2 a)$ 的值.

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19、已知集合 $A = {y | y = 2^{x} ， x < 3}$ ，集合 $B = {x | y = {log}_{2} (x^{2} - x - 6)} .$

(1)、在下面的直角坐标系中画出函数 $y = 2^{x}$ 的图象，求 $A \cap ∁_{R} B;$

(2)、若全集 $U = {x \in Z | x \in A} = C \cup D$ ， $C \cap ∁_{U} D = \{2, 3, 6, 7\}$ ，求集合 $D .$

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20、已知 $tan α + tan β = 1$ ，则 $\frac{sin (α + β)}{cos (α + β) + cos (α - β)} =$ .

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