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相关试卷

1、对于任意两正数u， $v (u < v)$ ，记区间 $[u, v]$ 上曲线 $y = \frac{1}{x}$ 下的曲边梯形 $($ 由直线 $x = u$ ， $x = v$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的封闭图形 $)$ 面积为 $L (u, v)$ ，并约定 $L (u, u) = 0$ 和 $L (v, u) = - L (u, v)$ ，已知 $L (1, x) = l n x .$

(1)、求 $L (1, 2)$ ， $L (3, 6)$ ， $L (12, 6);$

(2)、对正数k和任意两个正数u，v，猜想 $L (u, v)$ 与 $L (k u, k v)$ 的大小关系，并证明；

(3)、（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有 $\frac{1}{x + 1} < l n (1 + \frac{1}{x}) < \frac{1}{x};$
（ii）若 $n \in N^{*}$ ，试说明：当 $n \to + \infty$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \to + \infty$ .

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2、用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上污渍的 $\frac{1}{2}$ ，用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上.设用x单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数 $f (x) = \frac{k}{k + x^{2}} .$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式，写出 $f (x)$ 应该满足的条件或具有的性质 $($ 至少写2条，不需要证明 $);$

(2)、现有 $m (m > 0)$ 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少?请说明理由.

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3、“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.
现有 $n (n \geq 3)$ 人玩游戏.

(1)、分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率 $p (3)$ 、 $p (4)$ ；

(2)、求 $n (n \geq 3)$ 人玩一轮游戏，平局的概率 $p (n)$ （结果用n表示）；

(3)、设当 $n = 5$ 时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率 $Q$ .

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4、太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”.则下列有关说法中：

①函数 $f (x) = sin x + 1$ 是圆 $O : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的一个太极函数；
②对于圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
③存在圆 $O$ ，使得 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 是圆 $O$ 的一个太极函数；
④函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = k \cdot (|x - \frac{1}{2}| - \frac{1}{2})$ ，若 $f (x)$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的太极函数，则 $k \in (- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .
所有正确的是.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d < 0$ ， $a_{3} a_{5} = 24$ ， $a_{2} + a_{6} = 10$ ，记该数列的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、20 B、24 C、36 D、40

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6、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b， $c$ ，若 $c = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，且 $B E$ 为边 $A C$ 上的高， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B E}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、6 D、 $- 6$

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7、实数 $x, y$ 满足 $2^{x} - 4^{y} = 9$ ，则 $x - y$ 的最小值为.

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8、在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有 $n$ 名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下：
①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；
②记第 $k (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ 位同学挑战为本次挑战活动的第 $k$ 轮，若第 $i (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第 $i$ 轮挑战失败，该同学退出由第 $i + 1$ 位同学挑战；
③若第 $i (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第 $i$ 轮挑战失败，该同学退出，由第 $i + 1$ 位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战．
④挑战进行到第 $n$ 轮，则不管第 $n$ 位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量 $X_{n}$ 表示这 $n$ 名同学在进行第 $X_{n} (X_{n} = 1, 2, 3, \dots, n)$ 轮挑战后结束挑战活动．

(1)、求随机变量 $X_{5}$ 的分布列；

(2)、若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量 $Y_{n}$ 表示这 $n$ 名同学在第 $Y_{n} (Y_{n} = 1, 2, 3, \dots, n)$ 轮挑战后结束挑战活动．
（i）求随机变量 $Y_{n} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 的分布列；
（ii）证明： $E (Y_{n}) < 3$ ．

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [0, + \infty), b \in (- \infty, 1]$ 时， $f (x) \geq a x^{2} + b$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{k = 2}^{n + 1} f (\frac{1}{k}) > n - \frac{1}{2 n + 4} + \frac{1}{4}$ ．

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10、已知直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点．

(1)、证明： $4 k^{2} + 1 > m^{2}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，证明：点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // D C, C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $A D ⊥$ 平面 $P C D, P C = \sqrt{5}, P D = 1$ ，求平面 $P D M$ 和平面 $B D M$ 所成的角的正弦值．

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12、记 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos B, a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{3} a b$ ，

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、如图，在 $3 \times 3$ 的点阵中，依次随机地选出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个点，则选出的三点满足 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} < 0$ 的概率是．

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，且与 $y$ 轴相切，则圆 $C$ 的标准方程可以为．（写出满足条件的一个答案即可）

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15、若正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 10$ ，则 $\lg a_{1} + \lg a_{2} + \dots + \lg a_{5} =$ ．

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16、在平面直角坐标系中，已知曲线 $E$ 上的动点 $P (x, y)$ 到点 $F (2, 0)$ 的距离与其到直线 $x = - 2$ 的距离相等，点 $F$ 与点 $C$ 关于原点对称，过点 $C$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则下列命题正确的是（）

A、曲线 $E$ 的轨迹方程为 $y^{2} = 8 x$ B、若点 $T$ 的坐标为 $(4, 2)$ ，则 $|P T| + |P F|$ 的最小值为6 C、存在直线 $l$ 使得 $|A C| = \sqrt{2} |A F|$ D、对于任意直线 $l$ ，都有 $|A F| + |B F| > 2 |C F|$

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17、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{2} = 4$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为1的等差数列 C、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是公比为4的等比数列 D、数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前2025项和为 $- 2026$

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18、已知函数 $y = f (x) (x, y \in N_{+})$ 满足：（1）对任意 $a, b \in N_{+}, a \neq b$ ，都有 $a f (b) + b f (a) < a f (a) + b f (b)$ ；（2）对任意 $n \in N_{+}$ ，都有 $f (f (n)) = 3 n$ ．则 $12 f (8) + 8 f (12)$ 的值是（）．

A、324 B、336 C、348 D、360

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19、现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）

A、等于200g B、大于200g C、小于200g D、以上都有可能

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20、曲线 $y = 4 \cos x$ 与直线 $y = - x + 2$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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