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相关试卷

1、如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ， $\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ ．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$

(1)、求证：向量 $\vec{p}$ 为平面OAB的法向量；

(2)、若 $\vec{a} = (1, - 1, \sqrt{7})$ ， $\vec{b} = (0, - 3, 0)$ ，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 的大小；

(3)、将四边形OADB按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积V与 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ 的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

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2、已知圆 $C : x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 3 = 0$ ，直线 $l : x + y - 2 = 0$ 是圆 $E$ 与圆 $C$ 的公共弦AB所在直线，且圆 $E$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上.

(1)、求公共弦AB的长度；

(2)、求圆 $E$ 的方程；

(3)、过点 $Q (- 1, 0)$ 分别作直线 $M N$ ， $R S$ ，交圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ ， $R$ ， $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，试探究 $| M N |^{2} + | R S |^{2}$ 是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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3、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = 4, A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别为棱 $B B_{1}, B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}, D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 四点共面；

(2)、 $P$ 为边 $C C_{1}$ 上一点，若平面 $P A_{2} D_{2}$ 与平面ABCD所成夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求CP的长度.

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4、已知点 $P (- 2, 1)$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 上，过点 $(2, 0)$ 作斜率为1的直线 $l$ 与椭圆交于A，B两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值.

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5、已知三角形的三个顶点是 $A (4, 0), B (6, 7), C (0, 3)$ .

(1)、求边AC所在直线的斜截式方程；

(2)、求边AC上的高所在直线的斜截式方程.

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6、设有一组圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - k)}^{2} = 4 (k \in R)$ ，存在定直线始终与圆 $C_{k}$ 相切.

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7、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达 $\cdot$ 芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达 $\cdot$ 芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为 $1$ ，则（）

A、点 $C_{1}$ 到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、异面直线 $C Q$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、直线 $B_{1} C_{1}$ 到平面 $C G Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、直线 $C Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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8、已知 $M > 0$ ，椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{3 M} + y^{2} = 1$ ， $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{M} + y^{2} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ .若 $e_{1} = \sqrt{3} e_{2}$ ，则 $M$ 的值可能为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9、已知直线 $l_{1} : (k - 3) x + (5 - k) y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 (k - 3) x - 2 y + 3 = 0$ 平行，则 $k$ 的值可能是（）

A、1 B、3 C、4 D、6

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10、已知M，N是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上关于原点对称的两点， $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点，则 $| M F |^{2} + 8 | N F |$ 的取值范围为（）

A、[51，76] B、[52，76] C、[64，80] D、[68，80]

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11、若直线 $x + a y + 15 = 0$ 经过两直线 $5 x - 3 y - 17 = 0$ 和 $x - y - 5 = 0$ 的交点，则 $a =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 1, 2), A (0, 1, 2)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (4, 1, 3)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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13、直线 $6 x + 4 y - 1 = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(3, 2)$

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14、圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、内切 D、内含

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15、圆x²＋y²＋2x－1＝0的圆心到直线y＝x＋3的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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16、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $(\vec{B C} + \vec{B A}) - \vec{D_{1} D}$ 运算的结果为（）

A、 $\vec{A C_{1}}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{B D_{1}}$ D、 $\vec{D_{1} B}$

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17、甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

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18、已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $- 3 \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 12$ B、 $- 6$ C、6 D、12

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19、已知以点 $C$ 为圆心的圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - \frac{3}{a})}^{2} = a^{2} + \frac{9}{a^{2}} (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与 $O$ 不重合）

(1)、求证： $△ M O N$ 的面积为定值；

(2)、设直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与圆 $C$ 交于点A，B，若 $| O A | = | O B |$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，设P，Q分别是直线 $l : x + y + 4 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $| P N | +$ |PQ|的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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20、已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (1, - 3), B (2, 1), C (- 1, 4)$ .

(1)、求BC边上的高所在直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $C$ ，且点A，B到直线 $l_{2}$ 的距离相等，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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