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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - 2$ 有且仅有一个零点，其中 $0 < a < 1 < b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8$ D、 $8 \sqrt{2}$

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2、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的导函数为 $f^{'} (x), x f^{'} (x) > 2 f (x)$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $2024^{2} f (2025) > 2025^{2} f (2024)$ B、 $2024^{2} f (2025) < 2025^{2} f (2024)$ C、 $2024 f (2025) > 2025 f (2024)$ D、 $2024 f (2025) < 2025 f (2024)$

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3、曲线 $y = x e^{x} - x$ 在点 $P$ 处切线的斜率为 $- 1$ ，则 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 1 - \frac{1}{e})$ C、 $(1, e - 1)$ D、 $(1, 2 e - 1)$

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4、函数 $y = \frac{cos x}{x}$ 的导数是（）

A、 $- \frac{sin x}{x^{2}}$ B、 $- sin x$ C、 $- \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、 $- \frac{x cos x + cos x}{x^{2}}$

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5、某电动自行车的耗电量 $y$ 与速度 $x$ 之间的关系式为 $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{39}{2} x^{2} - 40 x (x > 0)$ ，为使其耗电量最小，则其速度为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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6、已知函数 $f (x) = ln \frac{e^{2 x}}{x} + a x, a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若方程 $e^{x - 1} + \frac{a f (x)}{x} = {(a + 1)}^{2}$ 有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, P$ 为其上一动点，当 $P$ 运动到点 $(2, t)$ 时， $|P F| = 4$ ，直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，点 $Q (6, - 4)$ ，则（）

A、 $E$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、 $|P Q| + |P F|$ 的最小值为8 C、若 $|A B| = 8$ ，则 $l$ 过点 $F$ D、当直线 $l$ 过焦点 $F$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

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8、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 4$ ，则 $a_{5} - 3 a_{3} =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、 $- 4$ D、 $- 2$

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9、函数 $y = \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{lg (2 x - 3)}$ 的定义域为.

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10、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ ，在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程是 $y = - 3$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - m (m \in R)$ ，若函数 $g (x)$ 只有1个零点，求 $m$ 的取值范围.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且经过点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ ， M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点 $Q （$ 异于点 $M ） .$

(1)、求C的标准方程；

(2)、求 $△ P Q M$ 面积的最大值.

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12、2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 $x$ （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（ $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)、求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、如果用分层抽样的方法从样本成绩为 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率；

(3)、某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ ，已知这10个分数的平均数 $\bar{x} = 80$ ，标准差 $s = \sqrt{35}$ ，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} [a x^{2} + (a - 5) x + 1]$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线与直线 $l : 4 e x + y + 2 = 0$ 平行．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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14、将数据 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ， …排成如图的三角形数阵，（第一行一个 $2^{n - 1}$ ，第二行两个 $2^{n - 2}$ ， ⋯，最下面一行有 $n$ 个 $2^{0}$ ， $n \in N^{*}$ ）则数阵中所有数据的和为.

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15、设 $f (x) = e^{x^{2}}$ ，其在点 $(0, 1)$ 处的切线斜率为．

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16、（多选）已知向量 $\vec{m} + \vec{n} = (1, 1)$ ， $\vec{m} - \vec{n} = (3, 3)$ ，则（）

A、 $(\vec{m} - \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $(\vec{m} - \vec{n})$ $//$ $\vec{n}$ C、 $|\vec{m}| = \sqrt{2} |\vec{n}|$ D、 $⟨\vec{m}, \vec{n}⟩ = 180 °$

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17、函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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18、已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点 $P (- 1, 2)$ ，则 $\frac{1 + tan α}{1 - tan α} - \frac{1}{cos 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c = 1$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} (1 - i) = 3 + 5 i$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $4 + 4 i$ B、 $4 - 4 i$ C、 $- 1 + 4 i$ D、 $- 1 - 4 i$

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