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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{a} = \frac{\sin A + 2 \sin B \cos A}{2 \sin A}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上的一点， $B D = 3$ ，且______，求 $△ A B C$ 的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
① $B D$ 是 $∠ B$ 的平分线；
② $D$ 为线段 $A C$ 的中点.

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ 求 $A C$ 边上的高取值范围.

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2、某养殖公司有一处正方形养殖池 $A B C D$ ，边长为100米.

(1)、如图1，P，Q分别在 $B C$ ， $C D$ 上，且 $B P + Q D = P Q$ ，求证： $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ .

(2)、如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求 $O$ 是边 $A B$ 的中点，点 $F$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $∠ E O F = \frac{π}{2}$ ，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带 $O E$ 和 $O F$ ，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设 $∠ B O F = α$ ，求 $α$ 的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值： $\tan \frac{7 π}{20} = 2$ ， $\sin \frac{2 π}{5} = \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{4} \approx 0.95$ ）

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3、已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{4} + x) \sin (\frac{π}{4} - x) + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值.

(3)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围.

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4、如图所示，在 $△ A B C$ 中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.

(1)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，
（ⅰ）用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ；
（ⅱ）若 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \bar{A C}$ ，求 $\frac{1}{λ} + \frac{2}{μ}$ 的值.

(2)、若 $\vec{F D} = \vec{D E}$ ， $A D = 2$ ， P是线段AD上任意一点，求 $\vec{A P} \cdot (\vec{P F} + \vec{P E})$ 最大值.

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5、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $A D$ 的中点， $F$ 为边 $A B$ 上一点， $E G ⊥ E F$ 交边 $C D$ 于点 $G$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3}, A D = 4$ ，则 $△ E F G$ 周长的最小值为．

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6、已知 $\sin (- \frac{π}{2} + α) = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则 $\sin (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) =$ .

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7、已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (\sin α, \cos α)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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8、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\frac{1}{2} b - a + 2 a \sin^{2} \frac{A + B}{2} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、角C一定为锐角 B、 $\frac{\tan A}{\tan C} = - \frac{1}{3}$ C、 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} = 0$ D、 $\tan B$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9、向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2, |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}|$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移m（ $m > 0$ ）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 $\frac{π}{3}$ D、若实数m使得方程 $f (x) = m$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰好有三个实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $\tan (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = - \sqrt{3}$

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11、已知平行四边形ABCD中， $∠ A D C = 60 °$ ， E，F分别为边AB，BC的中点，若 $\vec{D E} \cdot \vec{D F} = 26$ ，则四边形ABCD面积的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、2

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12、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c \cos B = 2 a \cos A - b \cos C$ ， BC边上一点D满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且AD平分 $∠ B A C$ .若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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13、若 $\cos 2 α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (β - α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $α \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ， $β \in [π, \frac{3}{2} π]$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{11 π}{6}$ B、 $\frac{7 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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14、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $x \in R$ ， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x + \frac{π}{3})$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $y = A \sin 2 x$ 的图象 C、 $f (x)$ 图象的对称轴为 $x = \frac{k}{2} π + \frac{π}{6}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$

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15、设 $λ$ 为实数，已知向量 $\vec{m} = (2, 1 - λ)$ ， $\vec{n} = (2, 1)$ .若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m} - \vec{n}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的正弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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16、已知在正六边形 $A B C D E F$ 中，G是线段 $C D$ 上靠近D的三等分点，则 $\vec{G A} =$ （）

A、 $\frac{8}{3} \vec{B A} - \frac{4}{3} \vec{C E}$ B、 $\frac{10}{3} \vec{B A} - \frac{4}{3} \vec{C E}$ C、 $\frac{11}{3} \vec{B A} - \frac{5}{3} \vec{C E}$ D、 $- \frac{11}{3} \vec{B A} + \frac{5}{3} \vec{C E}$

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17、已知 $3 \sin (2 α + \frac{3 π}{2}) = 7 \cos α$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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18、 $\cos 70 ° \sin 40 ° - \sin 110 ° \sin 50 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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20、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{3^{n - 1} a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $B_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{S_{2 n - 1} \cdot S_{2 n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$

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