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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{4} x + \frac{3 a^{2}}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = 2 x^{2} - m e^{x} + \frac{e^{2}}{12} + \frac{1}{4}$ ，当 $a = - \frac{e}{6}$ 时，对任意的 $x_{1} \in [1, 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, e]$ ，使 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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2、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14$ ， $a_{2} + 1$ 是 $a_{1}$ ， $a_{3}$ 的等差中项.等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{1} = a_{2}$ ， $b_{4} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和.

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3、已知 $f (x) = a \ln x + x^{2} - 3 b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $2 x + y - 4 = 0$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、若曲线C： $y = - \frac{a}{12} x^{3} - 4 b$ ，求曲线C过点 $(2, 4)$ 的切线方程．

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4、等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} = 11$ ， $a_{7} = 2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值.

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5、已知函数 $y = a \ln x - x + 1$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 垂直，则实数a的值为.

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6、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < a < \frac{1}{e}$ B、 $f (x_{1}) > \frac{1}{2}$ C、 $f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2$

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7、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\tan 2 x)}^{'} = 2 \tan 2 x$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 ${(5^{x})}^{'} = 5^{x} \log_{5} x$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = 2 x \cos x - x^{2} \sin x$

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8、函数 $f (x) = x - 2 ln x$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(0, 2)$

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9、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有

A、 $\frac{1}{7} (8^{7} - 8)$ 人 B、 $\frac{1}{7} (8^{9} - 8)$ 人 C、 $8 + \frac{1}{7} (8^{7} - 8)$ 人 D、 $8 + \frac{1}{7} (8^{9} - 8^{4})$ 人

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10、函数 $f (x)$ 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > f^{'} (3) > 0$ B、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3) < 0$ C、 $0 < f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > 0 > f^{'} (3)$

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11、已知A､B为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)和双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足 $\vec{A P} + \vec{B P} = λ (\vec{A Q} + \vec{B Q}) (λ \in R, | λ | > 1)$ ，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k₁､k₂､k₃､k₄.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b= $\sqrt{3}$ 时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求△BPQ的面积S；
（3）若F₁､F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF₁ $/ /$ PF₂ ，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值.

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12、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的体积为 $4 \sqrt{3} π$ ，侧面积也为 $4 \sqrt{3} π$ ， AB为 $⊙ O_{2}$ 的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与 $O_{1} O_{2}$ 交于点O．

(1)、求圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的高；

(2)、证明： $C O = D O$ ；

(3)、若直线AC与下底面所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．

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13、某乒乓球运动员练习接发球，陪练教练每次发球有 $\frac{1}{3}$ 的概率发左旋球，有 $\frac{2}{3}$ 的概率发右旋球，且该运动员可以通过陪练教练的发球动作，准确地判断发出的是左旋球还是右旋球.根据以往训练数据，该乒乓球运动员能成功接左旋球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，能成功接右旋球的概率是 $p (0 < 0 < 1)$ .在某次训练的连续两次接发球中，设该运动员成功接到左旋球的次数为随机变量 $X$ ，成功接到右旋球的次数为随机变量 $Y$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求该运动员两次接发球均成功的概率；

(2)、若 $E (X) > E (Y)$ ，求 $p$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = x - \ln x - 2$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(e, e - 3)$ 处的切线方程；

(2)、若 $a \geq 0$ ， $g (x) = a x^{2} - 2 (a x + 1) - f (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性.

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15、已知函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，记 $f^{(2)} (x) = f (f (x)) = 2 (2 x + 1) + 1 = 4 x + 3$ 为函数 $f (x)$ 的2次迭代函数， $f^{(3)} (x) = f (f (f (x))) = 4 (2 x + 1) + 3 = 8 x + 7$ 为函数 $f (x)$ 的3次迭代函数，…，依次类推， $f^{(n)} (x) = \underset{n 个}{\underset{⏟}{f (f (f (\cdot \cdot \cdot f (x) \cdot \cdot \cdot)))}}$ 为函数 $f (x)$ 的n次迭代函数，则 $f^{(n)} (x) =$ ； $f^{(100)} (32)$ 除以17的余数是.

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16、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差为d，已知 $a_{1} < 0$ 且 $2 a_{1} + 7 d = 0$ ．则使 $S_{n} > 0$ 成立的最小正整数n的值为．

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17、从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位： $m m$ ），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为.

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18、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点， $G$ 为底面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时， $E F ⊥ C G$ B、若 $G$ 在线段 $B D$ 上运动，三棱锥 $A - G E F$ 的体积为定值 C、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G$ 截正方体所得的截面面积为 $12 \sqrt{3}$ D、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球表面积为 $\frac{236 π}{9}$

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19、下面命题中是真命题的有（）

A、 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4 C、函数 $f (x) = sin x + \frac{4}{sin x}$ 的最小值为4 D、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a^{x} - 1, x \leq 1, \\ {log}_{a} x, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2}, 1)$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $c = 3, b = 2, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{6}}{5}$ ，则 $B C$ 边上的高线 $A H$ 的长等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、2 D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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