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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{9} = 126$ ， $a_{4} + a_{10} = 40$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 60}{n}$ 的最小值为．

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2、下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{k}$ ， $S_{2 k} - S_{k}$ ， $S_{3 k} - S_{2 k}$ ， …仍为等差数列 $(k \in N^{*})$ B、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{k}$ ， $S_{2 k} - S_{k}$ ， $S_{3 k} - S_{2 k}$ ， $\dots$ 仍为等比数列 $(k \in N^{*})$ C、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} > 0$ ， $d < 0$ ，则前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值 D、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 5 a_{n} + 9, a_{1} = 4$ ，则 $\frac{1}{a_{1} - 2} + \frac{1}{a_{2} - 2} + \dots + \frac{1}{a_{n} - 2} < 1$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + (n - 1) \cdot 2^{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $\frac{n^{2} - n + 2}{2}$ B、 $\frac{n^{2} + n - 1}{2}$ C、 $\frac{n^{2} - 2 n + 3}{2}$ D、 $\frac{n^{2} + 2 n - 2}{2}$

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4、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 45$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 39$ ，则 $a_{3} + a_{6} + a_{9} =$ （）

A、39 B、20 C、19.5 D、33

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5、已知 $y = x^{2} - (a + 1) x + a$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $y \leq 0$ 的解集 $A$ ；

(2)、若 $y \leq 0$ 的解集 $A$ 是集合 $\{x |- 4 \leq x \leq 2\}$ 的真子集，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、设 $A = \{x ∣ x^{2} + a x + 12 = 0\} ， B = \{x ∣ x^{2} + 3 x + 2 b = 0\} ， A \cap B = {2} ， C = {2 ， - 3}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值及 $A ， B$ ；

(2)、求 $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ .

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7、若不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x ∣ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\}$ ，则 $a - b$ 的值是.

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8、已知 $- 1 < a + b < 3$ ， $2 < a - b < 4$ ， $P = a + 3 b$ ，则 $P$ 的取值范围是.

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9、命题“ $\exists n \in N$ ， $n^{2} > 2 n$ ”的否定为.

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10、下列选项中正确的是（）

A、已知集合 $A = {1 ， 3 ， x} ， B = {1 ， x^{2}}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $x = \pm \sqrt{3}$ B、若不等式 $a x^{2} + b x + 3 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，则 $a + b = 2$ C、若集合 $A$ 满足 ${2 ， 4} \subseteq A \subseteq {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10}$ ，则满足条件的集合 $A$ 有8个 D、已知集合 $A = {x \in Z | x > 2} ， B = {x | x > m ， x \in R}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $m$ 的取值范围为 $m < 3$

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11、下列说法中正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c \neq 0$ ，则： $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ B、若 $- 2 < a < 3$ ， $1 < b < 2$ ，则： $- 3 < a - b < 1$ C、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则： $\frac{m}{a} < \frac{m}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则： $a c > b d$

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12、下列命题正确的有（）

A、 $\exists x \in Z$ ， $4 < 5 x < 5$ B、 $\exists x \in Z$ ， $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 7 = 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 3 x + 4 > 0$

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13、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} −(a +1) x + a <0$ 的解集中恰有1个整数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |−1< a ≤0$ 或 $2≤ a <3\}$ B、 $\{a |−2≤ a <−1$ 或 $3 < a ≤4\}$ C、 $\{a |−1≤ a <0$ 或 $2< a ≤3\}$ D、 $\{a |−2< a <−1$ 或 $3< a <4\}$

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14、某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买 $x$ 台机器人的总成本为 $P (x) = \frac{1}{600} x^{2} + x + 150$ （单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（）

A、100台 B、200台 C、300台 D、400台

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15、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $A = \{0, 2, 4, 5\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、{2，4} B、{0，3，5，6} C、{0，2，3，4，5，6} D、{1，2，4}

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16、不等式 $\frac{2}{x + 1} \leq 1$ 的解集是（）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ B、 $\{x |x \leq - 1$ 或 $x \geq 1\}$ C、 $\{x |x < - 1$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |x < - 1$ 或 $x \geq 1\}$

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17、以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（）

A、锐角三角形有一个内角是钝角 B、至少有一个实数 $x$ ，使 $x^{2} = 0$ C、两个无理数的和必是无理数 D、存在一个负数 $x$ ，使 $\frac{1}{x} > 2$

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18、设集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ， $B = \{x | - x^{2} + 6 x - 8 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 2 \leq x < 3\}$ B、 $\{x | - 1 \leq x < 4\}$ C、 $\{x | 2 < x \leq 3\}$ D、 $\{x | - 1 < x \leq 4\}$

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19、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，记 $|P A| = x$ ， $|P B| = y$ ， $|P C| = z$ ．

(1)、若 $c sin C - a sin A = (c - b) sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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20、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均相等，点 $D$ 为 $B_{1} C$ 的中点，点 $E$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若棱长 $|A B| = a$ ，求此直三棱柱的体积；

(3)、若三棱锥 $B - C D E$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求该三棱柱的外接球表面积．

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