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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值．

(3)、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．

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2、已知集合 $A = \{x | |x - \frac{1}{2}| \leq \frac{3}{2}\}, B = {x ∣ 3 - 2 m \leq x \leq 2 m + 1}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围．

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3、若对任意的 $x \in [2, 8]$ ，总存在 $y \in [1, 2]$ ，使得 $(2^{y} + m) [{(\log_{2} x)}^{2} + 4] = \log_{2} x$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \leq 0 \\ |\ln x + 2|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有三个不同的零点 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、实数 $m$ 的取值范围为 ${m ∣ 0 < m < 3}$ B、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0), (\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 单调递增 C、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围为 $(- 3 e^{- 4}, 0]$ D、函数 $g (x) = f (f (x))$ 有 $4$ 个零点

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5、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 \log_{2} (x - 1), x > 1 \\ 2 f (x + 2), x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6、设集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4\}$ ， $C = \{x \in R | 1 \leq x < 3\}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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7、如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第 $n$ 个正三角 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ，

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，探究 $a_{n + 1}$ 与 $S_{n}$ 的关系，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、是否存在正实数 $λ$ ，使得不等式 $\frac{3 a_{1}}{3 a_{1} + 1} \cdot \frac{3 a_{2}}{3 a_{2} + 1} \dots \dots \frac{3 a_{n}}{3 a_{n} + 1} \cdot \sqrt{3 a_{n + 1}} < λ^{2} - \frac{4}{3} λ$ 对一切正整数 $n$ 都成？若存在，求出 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左右焦点， $O$ 为原点，且点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若 $∠ A O B = 90 °$ ，求线段OM的长度；
②求点 $A$ 到直线OM的距离 $d$ 的最小值.

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 4, P A = P B = 2 \sqrt{2}$ ， M是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $P M$ 的长．

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10、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，记 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $c_{n} = \frac{2}{b_{n} \cdot b_{n + 1}} ，$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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11、如图， $M, N$ 分别是二面角 $α - A B - β$ 的两个半平面内两点， $M A = 3, A B = 2, B N = 1$ ， $∠ M A B = ∠ N B A = 120 °$ ，若 $M N = 3 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A M, B N$ 的夹角的正弦值为．

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12、 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上位于第一象限的点，若 $| P F | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $P$ 点的坐标为．

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13、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{10} = 9$ ， $S_{20} = 200$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、若 $S_{n} > 0$ ，则n的最小值为11

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14、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{c} = (- 3, 1, 8)$ 与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面 B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值是 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$

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15、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且 $\vec{O B} \cdot \vec{B F} = 0$ ， $\vec{A B} = 2 \vec{B F}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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16、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 8$ ，直线 $l : m x + y - m - 3 = 0$ ，若直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

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17、“ $a = \frac{1}{4}$ ”是直线 $l_{1}$ ： $(2 a - 1) x - a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + 2 a y - 1 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知空间向量 $\vec{a} = (1, n, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $| \vec{a} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、9

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19、设 $O - A B C$ 是正三棱锥， $G_{1}$ 是 $△ A B C$ 的重心， $G$ 是 $O G_{1}$ 上的一点，且 $O G = 3 G G_{1}$ ，若 $\overset{⃑}{O G} = x \overset{⃑}{O A} + y \overset{⃑}{O B} + z \overset{⃑}{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $1$

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20、某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， $\overset{⌢}{P Q}$ ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， $\overset{⌢}{P Q}$ 所对的圆心角为 $\frac{π}{6}$ .记∠PCA＝ $2 θ$ （道路宽度均忽略不计）.

(1)、求新路总长度 $f (θ)$ 的解析式；

(2)、求新路总长度的最小值．

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