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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列关于复数z的结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z} = 1 - i$ C、复平面内表示复数 $z$ 的点位于第一象限 D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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2、若 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos α$ =（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ B、 $\frac{- 3 \sqrt{3} - 4}{10}$ C、 $\frac{- 3 \sqrt{3} + 4}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

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4、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b = 2 a$ ， ${sin}^{2} B = 2sin A sin C$ ，则 $cos B =$

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、为了得到函数 $y = \cos (3 x - \frac{π}{12})$ 的图象，只需把函数 $y = \cos 3 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{36}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{36}$ 个单位长度

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6、已知 $|\vec{a}|$ ＝4， $|\vec{b}|$ ＝8， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ＝（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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7、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 0), \overset{⃑}{b} = (m, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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8、 $\sin 70^{\circ} \cos 40^{\circ} - \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，面对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 上各有一个动点 $M$ ， $N$ ，使得直线 $M N //$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ .

(1)、当 $M$ ， $N$ 为对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 的中点， $T$ 为 $C D$ 的中点时，证明：平面 $M N T //$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、当正方体棱长为2时，求线段 $M N$ 长度的最小值.

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $F$ 为 $C D$ 的中点， $G$ 为 $B C$ 上一点且满足 $\vec{C G} = 2 \vec{G B}$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ ；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $A B = 3, A D = 2$ ，求向量 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ 夹角的余弦值.

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11、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点.
（1）求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；
（2）求异面直线 $A E$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值.

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12、如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线 $B C$ ，在点 $B$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O B A = 45 °$ ，在 $C$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O C A = 30 °$ ，在基线 $B C$ 上靠近 $B$ 的四等分点处有一点 $P$ ，在 $P$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O P A = 60 °$ ，则这个孔明灯的高度 $O A =$ .

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13、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不共线，且两两所成角相等，若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 1$ ， $λ > 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - λ \vec{c})$ 的值为.

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14、如果 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b} = 1$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

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15、折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形 $O C D$ ，其中 $∠ A O B = 120 °$ ， $O D = 4$ ， $O B = 1$ ，动点 $P$ 在弧 $C D$ 上（含端点），连接 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $A B$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 2$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{P Q} > - 5$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$ D、若 $y = 3 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$

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16、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A D}$ 和 $\vec{A B}$ 分别是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ D、 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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18、设 $n \geq 5$ 为正整数， $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ 为正实数列．我们称满足 $\frac{a_{j} - a_{i}}{a_{k} - a_{j}} = r$ （其中 $1 \leq i < j < k \leq n$ ）的三元数组 $(i, j, k)$ 为“ $r -$ 比值组”.

(1)、若 $n = 5$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，写出所有的 $1 -$ 比值组；

(2)、给定正实数 $r$ ，证明：中位数为4（即 $(i, j, k)$ 中 $j = 4$ ）的 $r -$ 比值组至多有3个；

(3)、记 $r -$ 比值组的个数为 $f_{n} (r)$ ，证明： $f_{n} (r) < \frac{n^{2}}{4}$ .

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{x}{2} + a x$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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20、“ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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