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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 是正方形， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P C = B C = 1$ ， $E$ 是棱 $P B$ 上动点.

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、线段 $P B$ 上是否存在点 $E$ ，使二面角 $P - A C - E$ 的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求 $\frac{P E}{P B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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2、设 $a \in R$ ，若函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 2$ 在 $(1, 2)$ 内存在极值点，则 $a$ 的取值范围是.

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3、如图，对 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五块区域涂色，现有 $5$ 种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种.

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4、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为 $a_{n}$ ，如 $a_{1} = 1 + 1 = 2, a_{2} = 1 + 2 + 1 = 4, \cdot \cdot \cdot, \{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为 $\{b_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $S_{10} = 1022$ B、 $\{\frac{2 a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n + 2} - 2}$ C、 $b_{57} = 66$ D、 $T_{57} = 4150$

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5、甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B、如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C、如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D、如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种

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6、已知 $f (x) + f (1 - x) = 2, a_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + \dots + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1), (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = n - 1$ B、 $a_{n} = n$ C、 $a_{n} = n + 1$ D、 $a_{n} = n^{2}$

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7、将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（）

A、120 B、300 C、180 D、150

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8、某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度 $h$ （单位： $m$ ）与起跳后的时间 $t$ （单位： $s$ ）的函数关系是 $h (t) = - 5 t^{2} + 2 t + 4$ ，则该运动员在 $t = 0.5 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $- 0.50 m / s$ B、 $0.50 m / s$ C、 $3 m / s$ D、 $- 3 m / s$

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $sin A (sin A - sin C) = {sin}^{2} (A + C) - {sin}^{2} C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $P$ 为边 $A C$ 上一点（异于端点）， $∠ B P C = 2 ∠ A$ ，求 $\frac{|A P|}{|P C|}$ 的取值范围.

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，且 $F$ 为线段 $A B$ 的一个三等分点，则 $k^{2} =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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11、已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = k x + m$ . 如果对任意的 $x \in D$ ，均有：
①当 $x < x_{0}$ 时， $f (x) < k x + m$ ；
②当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = k x + m$ ；
③当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) > k x + m$ ，
则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的一个“ʃ-点”.
（1）判断 $0$ 是否是下列函数的“ʃ-点”：
① $f (x) = x^{3}$ ； ② $f (x) = \sin x$ .（只需写出结论）
（2）设函数 $f (x) = a x^{2} + \ln x$ .
（ⅰ）若 $a = \frac{1}{2}$ ，证明： $1$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“ʃ-点”；
（ⅱ）若函数 $y = f (x)$ 存在“ʃ-点”，直接写出 $a$ 的取值范围.

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12、质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 $100$ 桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：

(1)、写出频率分布直方图（甲）中 $a$ 的值；记甲、乙两种食用油 $100$ 桶样本的质量指标的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，试比较 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小（只要求写出答案）；

(2)、估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 $1$ 桶，恰有一桶的质量指标大于 $20$ 的概率；

(3)、由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．其中 $μ$ 近似为样本平均数 $x$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s_{2}^{2}$ ，设 $X$ 表示从乙种食用油中随机抽取 $10$ 桶，其质量指标值位于 $(14.55, 38.45)$ 的桶数，求 $X$ 的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 $s_{2} = \sqrt{142.75} \approx 11.95$
②若 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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13、某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表：
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
民俗文化周届数编号 $X$
1
2
3
4
5
外地游客人数 $Y$ （单位：十万）
0.6
0.8
0.9
1.2
1.5

(1)、求 $Y$ 关于 $X$ 的线性回归方程 $\hat{Y} = \hat{b} X + a$ ；

(2)、据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元.
参考公式： $\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \end{array}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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14、已知函数 $f (x) = \ln x - 2 a x$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求a的取值范围；

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15、小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为 $\frac{3}{4}$ ，周二去健身的概率为 $\frac{5}{6}$ ，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为．

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16、对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 、 $r_{4}$ 从小到大排列，应为．

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17、高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{8}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $P_{1} < P_{2} < P_{3} < P_{4}$ B、 $P_{i} = P_{9 - i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ C、 $P_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的最大值为 $\frac{25}{96}$ D、 $P_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的最小值为 $\frac{1}{32}$

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18、已知 $(2 x + 1) {(x - 2)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ， $(a_{7} \neq 0)$ ，则（）

A、 $n = 6$ B、 $a_{5} = - 108$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} = 3$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 363$

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19、若函数 $f (x) = 2 a ln x + 1$ 与 $g (x) = x^{2} + 1$ 的图像存在公共切线，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $e$ B、 $2 e$ C、 $\frac{e^{2}}{2}$ D、 $e^{2}$

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20、盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是 $\frac{3}{10}$ 的事件为（）

A、恰有1个是坏的 B、4个全是好的 C、恰有2个是坏的 D、至多有2个是坏的

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年份	2015年	2016年	2017年	2018年	2019年
民俗文化周届数编号 $X$	1	2	3	4	5
外地游客人数 $Y$ （单位：十万）	0.6	0.8	0.9	1.2	1.5