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相关试卷

1、设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ （ $a > 0$ ）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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2、设 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{| 1 - \sqrt{3} i |}{1 + i}$ 的共轭复数是

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $2 + i$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}$ 是 $3 a_{n}$ 与 $- 3$ 的等差中项；数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1, b_{n} - b_{n - 1} = n (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{2 b_{n} - n}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{7}{4}$ ；

(3)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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4、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为4，四边形 $A B E F$ 为矩形， $A F = 2$ ，点 $G$ 在 $E F$ 上，若三棱锥 $C - A B G$ 的四个顶点都在半径为 $\frac{\sqrt{129}}{4}$ 的球 $O$ 的球面上，则 $F G =$ .

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，满足线段 $P F_{2}$ 与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段 $P F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} =$ .

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7、（多选）物体运动方程为 $s (t) = 3 t^{2}$ （位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），若 $v = \lim_{Δ t \to 0}$ $\frac{s (3 + Δ t) - s (3)}{Δ t} = 18 m / s$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $18 m / s$ 是物体从开始到 $3 s$ 这段时间内的平均速度 B、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的速度 C、 $18 m / s$ 是物体在 $3 s$ 这一时刻的瞬时速度 D、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的平均速度的极限值

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8、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{18} =$ （）

A、0 B、18 C、10 D、9

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9、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = n - 3$ ，若 $a_{4}, a_{6}, a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、9 B、12 C、15 D、18

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10、已知函数 $g (x) = (a + 1) e^{x} - \frac{e^{2 x}}{2} - a x - 3$ （ $a \in R$ 且 $a \geq 2$ ）

(1)、判断 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若m，n为方程 $g^{'} (x) = t (t \geq 0)$ 的两个根 $(m < n)$ ，求 $g (m) + g (n)$ 的最小值．

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11、如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线 $l$ 旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为 $O$ ， $D$ 是几何体侧面上不在 $⊙ O$ 上的动点， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上不同于 $A$ ， $B$ 的动点， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ .
（1）证明： $E G //$ 平面 $B C D$ ；
（2）当三棱锥 $D - A B C$ 体积最大时，求直线 $C D$ 与面 $B G E$ 所成角的正弦值.

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12、养殖户承包一片靠岸水域，如图所示， $A O$ ， $O B$ 为直线岸线， $O A = 2$ 千米， $O B = 3$ 千米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，过弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点P按线段 $P A$ 和 $P B$ 修建养殖网箱，已知 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求岸线上点A与点B之间的直线距离；

(2)、如果线段 $P A$ 上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段 $P B$ 上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记 $∠ P A B = θ$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点，记 $l$ 为 $P$ 在椭圆 $C$ 上的切线，过 $F_{1}$ 作直线 $F_{1} H ⊥ l$ ，垂足为 $H$ ，则 $△ H F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为

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14、将正整数n分解成两个正整数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \times k_{2}$ ，当 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两数差的绝对值最小时，称 $(k_{1}, k_{2})$ 为正整数n的最优分解，如 $(4, 5)$ 为20的最优分解．当 $(k_{1}, k_{2})$ 为n的最优分解时，定义 $f (n) = |k_{1} - k_{2}|$ ，则数列 $\{f (5^{n})\}$ 的前2025项和为．

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15、若“ $\forall x \in R, x^{2} - a x - 2 a > 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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16、已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + \sin^{2} x} + \sin x)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, \ln (\sqrt{2} + 1)]$ C、当 $x > 0$ 时， $f (x) < x$ 桓成立 D、若 ${(f (x))}^{2} + a \cdot f (x) + 1 = 0$ 在 $x \in [0, 2025 π]$ 上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个

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17、如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱 $A E$ 的中点，点N为正方形 $E F G H$ 内（包含边界）的动点，若 $M N / /$ 平面 $B D G$ ，下列结论正确的为（）

A、点N的轨迹和正方形 $E F G H$ 的内切圆相切 B、存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C、无论点N在何位置，总有 $M N ⊥ C E$ D、 $M N$ 长度的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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18、已知定圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A$ 是圆 $M$ 所在平面内异于 $M$ 的定点，点 $P$ 是圆 $M$ 上的动点，若线段 $P A$ 的中垂线交直线 $P M$ 于点 $Q$ ．则点 $Q$ 的轨迹可能为（）

A、椭圆 B、双曲线的一支 C、双曲线 D、圆

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19、下列选项中，曲线 $y = m \sin (x - \frac{π}{9}) (m \in R)$ 与 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ 在 $x \in [\frac{π}{9}, \frac{19 π}{9}]$ 上的交点个数不一样的是（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 1$ C、 $m = - 2$ D、 $m = 2$

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20、某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（）

A、270 B、240 C、180 D、150

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