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相关试卷

1、已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $6 c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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2、一般地，设A，B分别为函数 $y = f (x)$ 的定义域和值域，如果由函数 $y = f (x)$ 可解得唯一 $x = φ (y)$ 也是一个函数 $($ 即对任意一个 $y \in B$ ，都有唯一的 $x \in A$ 与之对应 $)$ ，那么就称函数 $x = φ (y)$ 是函数 $y = f (x)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y) .$ 在 $x = f^{- 1} (y)$ 中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成 $y = f^{- 1} (x) (x \in B ， y \in A)$ 的形式.比如：函数 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 的反函数求法为：第一步：反解： $∵ y = x^{2} (x \geq 0)$ ， $∴ x = \sqrt{y}$ ；第二步：互换字母： $∴ y = \sqrt{x}$ ；第三步：求定义域：易知原函数 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 值域为 $y \geq 0$ ，故反函数定义域为 $x \geq 0$ ，反函数为 $y = \sqrt{x} (x \geq 0) .$ 记函数 $y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 的反函数为 $y = g (x)$ ，且有函数 $y = h (x)$ 满足 $g (x) + h (x) = e^{x} ($ 其中e为自然对数的底数 $) .$

(1)、求函数 $g (x)$ ， $h (x)$ ；

(2)、若关于x的不等式 $λ h (2 x) + h (x) \geq - g^{2} (x) - λ^{2} + 1$ 对 $x \in [- ln 2, ln 2]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、若关于x的方程 $g (x) + 3 h (x) = k$ 有两根 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{2} > x_{1})$ ，求 $\frac{{(e^{x_{1}} + 1)}^{2} + {(e^{x_{2}} - 1)}^{2}}{{(x_{1} + x_{2})}^{2}}$ 的最小值.

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3、为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为 $5 %$ ）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量 $Q$ （百件）与销售价格 $P$ （元）的关系如下图（每段图象为直线段， $A (140 ， 22)$ ， $B (200 ， 10)$ ， $C (260, 4)$ ）.

(1)、请写出月利润L关于P的函数关系式；

(2)、当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；

(3)、该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 $?$
$($ 参考数据： ${1.05}^{8} \approx 1.48$ ， ${1.05}^{9} \approx 1.55$ ， ${1.05}^{10} \approx 1.63$ ， ${1.05}^{11} \approx 1.71, {1.05}^{43} \approx 8.15, {1.05}^{44} \approx 8.56)$

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O是坐标原点，角 $α$ 的终边 $O A$ 与单位圆的交点为 $A$ ，射线 $O A$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $θ$ 弧度后交单位圆于点 $B$ ，记点 $B$ 的纵坐标 $y$ 关于 $θ$ 的函数为 $y = f (θ)$ ，终边 $O B$ 对应角 $β .$

(1)、若 $A (m, - \frac{1}{2})$ ， $m < 0$ ，求 $α$ ；

(2)、对（1）中 $α$ ，若 $f (θ) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ ， $θ \in (π, \frac{4 π}{3})$ ，求 $t a n θ$ ；

(3)、若 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ ， $A$ 的纵坐标为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $B$ 的横坐标为 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $θ - α$ .

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5、已知定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + b}{4 - x^{2}}$ 图象关于原点对称，且 $f (- 1) = - \frac{1}{3} .$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (3^{x} - 1) - \frac{1}{3} > 0.$

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6、已知函数 $f (x) = - x^{2} - p x + q$ ， $A = \{x |f (x) > 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{3 - 2 x}{2 x + 1} > 0\} .$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A = B$ ，求p，q的值；

(3)、若 $f (1) = 0$ ，求 $A .$

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7、已知函数 $y = f (x)$ 满足：① $f (x) = f (- x)$ ；② $\forall x y \neq 0$ ， $f (\frac{x}{y}) = \frac{f (x)}{f (y)}$ ；③ $\forall x \neq y$ ， $f (\frac{x + y}{2}) < \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ，请写出一个你认为符合上述要求的函数.

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8、已知 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0)$ ， M，N是直线 $y = - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 最近的两个交点，且 $|M N| = \frac{2 π}{9}$ ，则 $ω$ 的值为.

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9、 $\tan \frac{23 π}{6} =$ .

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10、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0)$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ， $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ ，则（）

A、若 $ω = 1$ ，则对称轴方程为 $x = - \frac{3 π}{4} + k π$ ， $k \in Z$ B、若 $ω = 3$ ，则函数 $f (x)$ 向左移动 $\frac{π}{4}$ 得到 $y = sin 3 x$ C、函数 $f (x)$ 周期为 $T = \frac{2 π}{2 k + 1}$ ， $k \in Z$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 最大值为9

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11、下列命题正确的是（）

A、不存在函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B、命题“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $ln x = x - 1$ ”的否定是“ $\forall x \notin (0, + \infty)$ ， $ln x = x - 1$ C、已知 $α$ ， $β$ 是第一象限角，则“ $α > β$ ”是“ $sin α > sin β$ ”的充要条件 D、 $△ A B C$ 三个内角A，B，C满足 $cos \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2}$

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12、以下结果正确的是（）

A、 ${log}_{\frac{1}{9}} 3 + 2 lg 4 + lg \frac{5}{8} + e^{3 ln 2} = \frac{17}{2}$ B、若 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 1$ ，则 $a^{2} + a^{- 2} = 11$ C、 $67^{\circ} 3 0^{'} = \frac{3}{8} π$ D、 $sin 72^{\circ} cos 42^{\circ} - cos 72^{\circ} sin 42^{\circ} = \frac{1}{2}$

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13、在下列区间中，函数 $f (x) = 4 sin (2 x - 1) - x - 1$ 不存在零点的是（）

A、 $[- 4, - 2]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[2, 4]$

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14、某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数 $d = \frac{S - 1}{ln N}$ 作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由 $N_{1}$ 变为 $N_{2}$ ，生物丰富度指数由 $3.1$ 提高到 $4.65$ ，则（）

A、 $3 N_{2} = 2 N_{1}$ B、 $2 N_{2} = 3 N_{1}$ C、 $N_{2}^{2} = N_{1}^{3}$ D、 $N_{2}^{3} = N_{1}^{2}$

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15、若函数 $f (x) = \frac{- a^{b}}{x} (b > a > 0)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[2 a - \frac{5}{2} ， 2 b - \frac{5}{2}]$ ，则 $a + b$ 等于（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、5 D、6

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16、幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则函数 $y = x - f (x)$ 的值域是（）

A、 $(- \infty, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ C、 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{4}, + \infty)$

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17、已知 $sin α + cos α = \sqrt{2}$ ，则 $sin α - cos α =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、0 D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、已知 $t a n (π - x) = \frac{1}{3}$ ， $x$ 为第二象限角，则 $c o s x =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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19、设全集为 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 4, 6\}$ ， $∁_{U} B = \{1, 3, 4\}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{2, 5\}$ C、 $\{6\}$ D、 $\{1, 3, 4, 6\}$

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20、已知非常数数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n} - 4 n - 4}{a_{n + 1} - 4 n - 4}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $3^{a_{1}} b_{1} + 3^{a_{2}} b_{2} + 3^{a_{3}} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{a_{n}} b_{n} = a_{n}^{2}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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