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相关试卷

1、若 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{sinπ x}{x^{2} - x}$ ，给出下列四个结论，正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在无数个零点 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最大值 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上是单调递减函数 D、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形

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3、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = e^{x}$ 的图象上两个不同的点，则（）

A、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} > 0$ B、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ C、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < x_{1} + x_{2}$

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4、下列化简中，正确的是（）

A、 $\cos 10 ° - \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ B、 $\cos 10 ° + \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ C、 ${(\sin 10 ° + \cos 10 °)}^{2} = 1 + \sin 20 °$ D、 $\tan 20 ° + \tan 40 ° + \sqrt{3} \tan 20 ° \tan 40 ° = \sqrt{3}$

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5、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝ $\frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）

A、8100 B、900 C、81 D、9

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6、 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin x$ 与 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、若“ $\exists x \in [1, 4]$ ，使得 $2 x + a + 1 \geq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 9)$ B、 $(- \infty, - 3)$ C、 $(- 9, - \infty)$ D、 $(- 3, - \infty)$

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8、已知三个函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = x - 1$ ， $h (x) = \log_{2} x + x$ 的零点依次为a，b，c，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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9、已知 $\cos θ \cdot \tan θ > 0$ ，那么 $θ$ 是（）

A、第一、二象限角 B、第二、三象限角 C、第三、四象限角 D、第一、四象限角

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10、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = ln x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = 3^{|x - 1|}$

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11、若集合 $A = \{(x, y) |x + y = 0\}, B = \{(x, y) |2 x - y = 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, - 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{(1, - 1)\}$ D、 $\{(- 1, 1)\}$

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12、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{f (3) - f (1)}{2} < f^{'} (1) < f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (3) < \frac{f (3) - f (1)}{2} < f^{'} (1)$ C、 $f^{'} (3) < f^{'} (1) < \frac{f (3) - f (1)}{2}$ D、 $f^{'} (1) < \frac{f (3) - f (1)}{2} < f (3)$

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13、有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为 $a_{m k} (m, k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, n \geq 3)$ ，公差为 $d_{m}$ ，并且 $a_{1 n}, a_{2 n}, a_{3 n}, \cdot \cdot \cdot, a_{n n}$ 成等差数列.

(1)、当 $d_{3} = 2$ 时，求 $a_{32}$ ， $a_{33}$ ， $a_{34}$ 以及 $a_{3 n}$ ；

(2)、证明 $d_{m} = p_{1} d_{1} + p_{2} d_{2}$ （ $3 \leq m \leq n$ ， $p_{1}$ ， $p_{2}$ 是m的多项式），并求 $p_{1} + p_{2}$ 的值；

(3)、当 $d_{1} = 1$ ， $d_{2} = 3$ 时，将数列 $\{d_{m}\}$ 分组如下： $(d_{1}), (d_{2}, d_{3}, d_{4}), (d_{5}, d_{6}, d_{7}, d_{8}, d_{9}), \cdot \cdot \cdot$ （每组数的个数构成等差数列），设前 $m$ 组中所有数之和为 ${(c_{m})}^{4} (c_{m} > 0)$ ，求数列 $\{2^{c_{m}} d_{m}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，不等式 $x f^{'} (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 3, - 2) \cup (0, 2)$ B、 $(- 3, - 2) \cup (2, 3)$ C、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, 3)$

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15、已知常数 $k$ 为非零整数，若函数 $y = f (x)$ ， $x \in [0, 1]$ 满足：对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 1]$ ， $\frac{|f (x_{1}) - f (x_{2})|}{|{(x_{1} + 1)}^{k} - {(x_{2} + 1)}^{k}|} \leq 1$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为 $N (k)$ 函数.

(1)、若函数 $y = m x$ ， $x \in [0, 1]$ 为 $N (2)$ 函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 为 $N (1)$ 函数，图像在 $x \in [0, 1]$ 是一条连续的曲线， $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{2}{3}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在唯一的极大值点，求函数 $y = f (x)$ 最值差的绝对值的取值范围；

(3)、若 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{1}{20} x^{2} + \frac{x}{10} + a \ln (x + 1)$ ，且 $y = f (x)$ 为 $N (- 1)$ 函数， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的一阶导函数，对任意 $x$ ， $y \in [0, 1]$ ，恒有 $M \geq | g (x) - g (y) |$ ，记 $M$ 的最小值为 $M (a)$ ，求 $a$ 的取值范围及 $M (a)$ 关于 $a$ 的表达式.

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16、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 40 = 0$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (ρ > 0)$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $| M N | = 8$

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设过抛物线焦点 $F$ 的直线交 $C_{2}$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过圆心 $C_{1}$ 的直线 $C_{1} A$ 与曲线 $C_{2}$ 的另一个交点为 $C$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 与 $C$ 之间.
（i）证明：线段 $B C$ 垂直于 $x$ 轴：
（ii）记 $△ F B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C_{1} F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $8 S_{2} - S_{1}$ 的取值范围.

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17、2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩 $\in (80, 100]$ ，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、从乙学校竞赛分数在 $(70, 90]$ 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；

(3)、现从参与竞赛的学生中随机抽取 $n (n \geq 8)$ 人，若要使 $P (Y = 8)$ 取得最大值（ $Y$ 表示 $n$ 人中优秀人数），求 $n$ 的值.

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18、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、已知三棱锥 $B - A C C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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19、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点？若存在，求实数 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由.

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20、已知正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ， $A B = 2$ ，现将其沿对角线 $A C$ 翻折，使得 $D$ 在面 $A B C$ 内的射影为 $A C$ 的中点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $∠ E O F =$ ，再将 $△ E O F$ 绕直线 $E F$ 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为.

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