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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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3、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 a c sin B$ ，求：

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $B C$ 边中线 $A D$ 长的最小值.

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4、2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间 $x$ （单位： $s$ ）与位移 $y$ （单位： $m$ ）之间的关系，得到如下表数据：
$x$
2.8
2.9
3
3.1
3.2
$y$
24
25
29
32
34
画出散点图观察可得 $x$ 与 $y$ 之间近似为线性相关关系.

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、记 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a}$ ，其中 $y_{i}$ 为观测值， ${\hat{y}}_{i}$ 为预测值， ${\hat{e}}_{i}$ 为对应 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差，求前3项残差的和.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 45.1, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 434.7$ ，参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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5、若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $\{x | \frac{1}{2} < x < 2\}$ ，
（1）求a的值；
（2）求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；
（3）求不等式 $\frac{a x + 1}{x + 2} \leq 0$ 的解集.

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6、不等式 $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ 的解集为.

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7、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为.

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8、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x - {cos}^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 上单调递增

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点， $B$ 为双曲线的右顶点，且 $△ B P Q$ 为正三角形．设点 $M$ 为抛物线上的动点，点 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $N$ ，点 $A (4, 3 \sqrt{5})$ ，则 $|M A| + |M N|$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 一条渐近线的斜率为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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11、某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在 $[350, 450]$ 内的学生人数为（）

A、300 B、400 C、600 D、1200

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (3 a - 4) x - 3, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，对任意实数 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 都满足 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[2, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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13、已知集合 $A = \{x | x^{2} < 1\}$ ， $B = \{a\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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14、若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $M ＝ {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，值域为 $N ＝ \{y | 0 \leq y \leq 2\}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、已知函数 $f (x) = x^{a} \ln x - x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) \leq - 1$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{n}{2 (n + 1)}$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 n + 3}{n} S_{n}$ .

(1)、证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等比数列

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式

(3)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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17、甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 $p = \frac{2}{3}$ ．

(1)、第二局比赛结束时比赛停止的概率；

(2)、设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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18、某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：
性别
购买意愿
合计
有愿意
无愿意
男性
22
18
40
女性
48
12
60
合计
70
30
100

(1)、试依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？

(2)、企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
$附 : χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d .$
下表给出了 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？

(1)、6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；

(2)、6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；

(3)、6人支教小组中，至少有1名主任参加；

(4)、6人支教小组中既有主任，又有女教师．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{60} =$ ．

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性别	购买意愿		合计
性别	有愿意	无愿意	合计
男性	22	18	40
女性	48	12	60
合计	70	30	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	2.8	2.9	3	3.1	3.2
$y$	24	25	29	32	34