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相关试卷

1、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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2、法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， …， $b_{n} \in R$ ，则 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2}$ ，当且仅当 $b_{i} = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ 或存在一个数k，使得 $a_{i} = k b_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 时，等号成立．

(1)、请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；

(2)、 $f (x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 - 2 x}$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(3)、设P是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 内的任意一点，点P到四个面的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ， $d_{4}$ ，求 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} + d_{4}^{2}$ 的最小值．

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3、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $2 \sin A \sin B \sin C = \sqrt{3} (\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A)$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，当 $△ A B C$ 的周长取最大值时，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $\frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围．

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4、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $A B_{1} //$ 平面 $D B C_{1}$ ；

(2)、令三棱锥 $A - B C_{1} D$ 的体积为 $V_{1}$ ．多面体 $A B D A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ．

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5、已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是 $(4 \sqrt{3} - 4) km$ ， C地在A地的北偏西 $75 °$ 方向，A，C两地之间的距离是 $8km$ ，现要在B地的北偏东 $30 °$ 方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的 $\sqrt{3}$ 倍．

(1)、求B、C两地之间的距离；

(2)、求高铁站D到C地的距离．

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6、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的单位向量，设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ．

(1)、计算 $|\vec{O P}|$ 的大小；

(2)、设向量 $\vec{a} = m \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{O P}$ 共线，求实数m的值；

(3)、是否存在实数n，使得 $\vec{O P}$ 与向量 $\vec{b} = \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}}$ 垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

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7、设 $z_{1}$ 是虚数， $z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}$ 是实数．则 $|z_{1} - 1|$ 的取值范围为．

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8、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 $∠ A = 45 °$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $∠ B =$ ．

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9、如图，已知 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，任意点 $M$ 关于点 $A$ 的对称点为 $S$ ，点 $S$ 关于点 $B$ 的对称点为 $N$ ，则向量 $\vec{M N}$ =（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ）

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点M，P，N分别是线段 $C_{1} D_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A D$ 的中点．则以下选项正确的是（）

A、直线 $M P //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、平面 $M P N //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、直线 $A_{1} M$ 、 $B P$ 、 $B_{1} C_{1}$ 三线共点 D、过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{10}$ ．

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11、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点O在边 $B C$ 上，且 $\vec{O C} = 2 \vec{B O}$ ．过点O的直线分别交射线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点M，N， $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ．则以下选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\cos 〈 \vec{O A}, \vec{O C} 〉 = \frac{\sqrt{7}}{14}$ C、 $m + n = 3$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是 $\frac{8}{3}$

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12、已知复数 $z = \frac{1}{3 + 4 i}$ 是方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则下列说法正确的是（）

A、 $p = - \frac{6}{25}$ B、复数z的模为5 C、复数z的虚部为 $- \frac{4}{25} i$ D、方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的另一个根为 $\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i$

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13、若不共线的两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{b} |$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $| 2 \vec{a} | > | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ B、 $| 2 \vec{a} | < | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ C、 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ D、 $| 2 \vec{b} | < | \vec{a} - 2 \vec{b} |$

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14、某圆锥的高是底面半径的 $\sqrt{3}$ 倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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15、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程 $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ 的两个根， $C = 60 °$ ，则 $c =$ （）

A、12 B、 $2 \sqrt{3}$ C、18 D、 $3 \sqrt{2}$

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16、如图，P为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点，E为 $A D$ 的中点，F为 $P C$ 上一点，当 $P A / /$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{C F}{C P} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (4, 6)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(1, - 1)$ C、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ D、 $(- 1, 1)$

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18、下列命题中正确的是（）

A、底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B、有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C、沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

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19、若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < λ |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“ $λ$ 类函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”；

(2)、若 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - \frac{x^{2}}{2}$ ，为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的 $2 \times 2$ 列联表：
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
5
女生
8
合计
45
已知在全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、请将上面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整（不用写计算过程）；

(2)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？

(3)、现从女生中抽取2人做进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与均值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$a$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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性别	打篮球		合计
性别	喜爱	不喜爱	合计
男生		5
女生	8
合计			45

$a$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828