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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z + 10 i = \bar{z}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为.

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2、下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 2$ ， $A = 30^{\circ}$ ，且该三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(1, 2)$ C、若向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(4, 2)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $a cos A = b cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

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3、在复平面内，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $z$ 为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ B、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z^{50} = - 1$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 10$ ，则复数 $z$ 对应点的集合是以原点 $O$ 为圆心，以10为半径的圆

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4、函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在零点，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7}{4}, \frac{13}{6}]$ B、 $(2, \frac{13}{6}]$ C、 $[2, \frac{13}{6}]$ D、 $[\frac{7}{4}, 2)$

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5、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a + c, b - a)$ ， $\vec{q} = (a - c, b)$ ，且 $\vec{p} ⊥ \vec{q}$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、12

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6、将函数 $y = sin x$ 图象上每个点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式为（）

A、 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$

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7、已知角 $θ$ 的终边过点 $(1, - 1)$ ，则 $sin (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 6)$ ， $B (8, - 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量 $\vec{e}$ 是（）

A、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

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9、已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{3 + i}{1 + i} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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10、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{x} - a$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极小值，且 $f (x)$ 的极小值小于 $1 - a^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、类比高中函数的定义，引入虚数单位 $i$ ，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数 $f (x) = {(x - i)}^{n} + \frac{1}{{(x - i)}^{n}}$ ， $x \in C$ 且 $x \neq i$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、当 $n = 1$ 时，解关于 $x$ 的方程： $f (x + i) = 1$ .

(2)、当 $n = 2$ 时，①若 $|x - i| = 1$ ，求 $f (x)$ 的最小值.
②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数 $x$ 和实数 $M$ ，使得 $f (x - 5 - 11 i) \geq M$ 恒成立，求 $|x|$ 的取值范围.

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12、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c (2 + \cos B) = \sqrt{3} b \sin C$ ，且 $A B = 3$ ， $B C = 1$ ， $B E$ 是 $∠ A B C$ 角平分线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ .

(1)、求 $B E$ 的长.

(2)、延长 $B E$ 至点 $D$ ，使得 $B E = D E$ ，求 $\cos ∠ C A D$ .

(3)、若 $P$ 是 $∠ A B C$ 角平分线 $B E$ 所在直线上一点，且满足 $\vec{P B} = m \vec{P A} + n \vec{P C}$ （ $m$ ， $n \in R$ ），若 $1 \leq n \leq 2$ ，求 $|\vec{P B}|$ 取值范围.

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13、如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面积为3， $O^{'}$ 为正方形 $A B C D$ 的中心.

(1)、若正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为 $\frac{3}{2}$ ，求它的表面积.

(2)、若正四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为 $8 π$ ，求正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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14、已知函数 $f (x) = 2 sin(x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

(2)、若 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位后得到 $g (x)$ 图象，求 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, - \sqrt{3})$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ .

(1)、若 $\vec{b} ⊥ \vec{a}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为120°，求 $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值.

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16、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B} + t \vec{A D}$ ，其中 $t \in [0, 1]$ ，则 $B_{1} P + P D$ 的最小值为.

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17、如图，正方形 $A B C D$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，则 $cos ⟨\vec{B E}, \vec{B F}⟩ =$ .

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18、已知复数 $z_{1} = a^{2} - 3 a i$ ， $z_{2} = - a + (a^{2} + 2) i$ ， $a \in R$ ，若 $z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为.

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19、已知函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) + f (- x) = 2$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = \sin x + 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x) = f (x + 8)$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $1 + \sin 2$ C、 $f (2022) = 1 + \sin 2$ D、 $y = f (x + 2) - 1$ 为奇函数

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面上一点，设 $\vec{A O} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $m = \frac{2}{3}$ B、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $m + n = \frac{2}{3}$ C、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $m + 3 n = \frac{4}{5}$ D、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $m + 2 n = \frac{2}{5}$

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