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相关试卷

1、锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = \sqrt{3}$ 且 $2 c = 2 a cos B + b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求三角形 $A B C$ 周长的取值范围；

(3)、求三角形 $A B C$ 面积的最大值.

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2、在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.

(1)、已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 $0.8$ ；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；

(2)、已知当前每次测试成功的概率为 $0.7$ ，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案?

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线斜率为4，且在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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4、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - a$ ，若函数 $f (x)$ 有2个零点，则a的取值范围.

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5、若函数 $f (x) = k x + ln (2 x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围为.

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6、已知随机变量 $X ~ N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 2) + P (X \geq 4) = 0.6$ ，则 $P (3 \leq X < 4) =$ .

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7、设随机变量 $X \sim B (10, p)$ ，若 $E (X) = 6$ ，则 $D (5 X - 4) =$ （）

A、60 B、56 C、12 D、8

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8、函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3}$ 在 $[2, + \infty)$ 上的最小值为（）

A、 $- \frac{e^{3}}{6}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{e^{3}}{6}$ D、1

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9、 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{10}$ 的展开式的常数项为（　　）

A、210 B、252 C、 $- \frac{63}{8}$ D、 $\frac{105}{32}$

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10、已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，且 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 2$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、2

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11、已知各项均为正整数的数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}, \{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = a_{n}, a_{n}^{2} = b_{n}^{2} + c_{n}^{2}, b_{n} > c_{n}$ .

(1)、若 $b_{2} = 3 b_{1} = 4 c_{1}$ ，求 $\frac{c_{3}}{a_{1}}$ ；

(2)、已知 $a_{1} = 5$ .
（i）求 $c_{4}$ ；
（ii）证明： $a_{n} - b_{n}$ 可以为定值，且当 $a_{n} - b_{n}$ 为定值时， $\frac{1}{b_{1} + 2} + \frac{1}{b_{2} + 2} + \dots \frac{1}{b_{n} + 2} < \frac{1}{4}$ .

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12、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $A_{1} G ⊥$ 平面 $A B C, B C = 6$ ，记二面角 $A - B C - A_{1}$ 与 $A - B C - C_{1}$ 的大小分别为 $α, β$ .

(1)、当 $A A_{1} = 4$ 时， $A B = A C$ 时.
（i）证明： $A_{1} B = A_{1} C$ ；
（ii）求 $cos (β - α)$ ；

(2)、若 $β = 2 α$ ，求 $A A_{1}$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = a^{x} + 4^{x} (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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14、已知 $A, B$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点， $|A B| = 1$ ，若点 $P$ 满足 $\vec{P B} = 2 \vec{P A}$ ，记 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、 $C$ 是 $Γ$ 上一点，若 $\vec{O C} \cdot \vec{O P} = - 2$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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15、某企业前8个月月底的盈利金额 $y$ （万元）与月份 $x$ 之间的关系如下表所示：
$x$
1
2
3
4
5
6
7
8
$y$
1.95
2.92
4.38
6.58
9.87
15.00
22.50
33.70

(1)、用 $y = e^{b x + a}$ 模拟 $y$ 与 $x$ 的关系，求出回归方程；

(2)、根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？
附：① $\bar{y} = 12.1, \bar{ln y} = 2.1, \sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 613.7, \sum_{i = 1}^{8} x_{i} ln y_{i} = 92.4, \sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 204$ ；
② $ln 2 \approx 0.69, ln 3 \approx 1.10, ln 5 \approx 1.61$ ；
③回归直线 $u = \hat{b} v + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}, \hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \bar{v}$ .

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16、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (b > 0)$ 的左､右焦点， $P, Q, R$ 在 $E$ 上，其中 $Q$ 在第一象限， $R$ 在第二象限，直线 $P Q$ 过 $F_{1}$ ，且 $F_{2}, R$ 关于直线 $P Q$ 对称，则四边形 $P R Q F_{2}$ 的面积为.

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17、从1至8的8个整数中随机取2个不同的数组成一个两位数，则该数能被3整除的概率为.

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18、记 $q$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比，若 $a_{3} = a_{1} a_{2}, a_{2} - a_{1} = 20$ ，则 $q =$ .

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19、已知函数 $f (x) = |sin ω x| + ω cos 2 ω x$ ，则（）

A、对于任意的 $ω, f (x)$ 均为偶函数 B、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、当 $ω ⩽ 1$ 时， $f (x) ⩾ 0$ D、当 $ω > 1$ 时， $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{ω}, \frac{8 π}{ω})$ 上有12个零点

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20、设 $a + b = 1$ ，则函数 $f (x) = {(x + sin a)}^{2} + {(x + sin b)}^{2}$ 的极小值点可能是（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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$x$	1	2	3	4	5	6	7	8
$y$	1.95	2.92	4.38	6.58	9.87	15.00	22.50	33.70