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相关试卷

1、一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{6}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $24 \sqrt{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{π}{3}, c = 2$ ，且 $a - 1 = \sqrt{3} cos C$ ，则 $sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、已知 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 是两个垂直的单位向量．若 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, \vec{b} = 2 {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ，设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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4、柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若 $A$ 表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”， $B$ 表示事件“取出的手套都是右手的”， $C$ 表示事件“取出的手套不成双”，则（）

A、 $P (C) = P (A) + P (B)$ B、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、 $P (A B) = P (A) P (B)$ D、 $P (A \cup C) = P (A) + P (C)$

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5、已知直线 $a, b$ 与平面 $α, β$ ，则能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $a ⊥ α, b ⊥ β, a / / b$ B、 $a \subset α, b \subset β, a ⊥ b$ C、 $a / / b, a ⊥ β, b \subset α$ D、 $α \cap β = a, b ⊥ a, b \subset β$

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6、已知 $z - i = \frac{1 + 3 i}{3 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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7、已知 $A (- 1, - 1), B (x, 3), C (2, 5)$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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8、某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（）

A、12 B、6 C、4 D、2

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9、已知 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， $|\vec{A B}| = t$ ， $|\vec{A C}| = \frac{1}{t}$ ．若点P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A P} = \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{2 \vec{A C}}{|\vec{A C}|}$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最大值为．

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点， $\sin ∠ B A D =$ ．

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11、如图，平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的矩形 $O A B C$ 的直观图，若 $O^{'} A^{'} = 2 cm$ ， $O^{'} C^{'} = 3 cm$ ，则矩形 $O A B C$ 的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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12、在 $△ A B C$ 中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\vec{A D} = λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，记 $∠ A B D = θ$ .下列命题中正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c \sin θ = a \sin (B - θ)$ B、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c \cos θ + b \cos (A + θ) = B D$ C、若 $λ \in [0, 1]$ ，则 $\frac{\sin θ}{a} + \frac{\sin (B - θ)}{c} = \frac{\sin B}{B D}$ D、若 $λ \in [0, 1]$ ，则 $a \cos (B - θ) + b \cos (A + θ) = c \cos θ$

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13、如图，圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面ABCD中， $A B = A D = B C = \frac{1}{2} C D = 2$ ，下面说法正确的是（）

A、线段 $A C = 2 \sqrt{3}$ B、该圆台的表面积为 $12 π$ C、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5

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14、下列说法中正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、对于向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，有 $(\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c})$ C、向量 $\overset{⃑}{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (5, 7)$ 能作为所在平面内的一组基底 D、设 $\overset{⃑}{m}$ ， $\overset{⃑}{n}$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\overset{⃑}{m} = λ \overset{⃑}{n}$ ”是“ $\overset{⃑}{m} \cdot \overset{⃑}{n} < 0$ ”的充分而不必要条件

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15、设 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 30^{\circ}$ ，定义 $f (M) = (m, n, p)$ ，其中 $m, n, p$ 分别是 $△ M B C, △ M C A, △ M A B$ 的面积，若 $f (M) = (\frac{1}{2}, x, y)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是（）

A、 $9 (\sqrt{3} + 1)$ B、18 C、16 D、9

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16、已知圆锥的底面半径为2，高为 $2 \sqrt{3}$ ，则其侧面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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18、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $i$

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a sin B = \sqrt{3} b sin \frac{A}{2}$ ．

(1)、求角A；

(2)、点M在线段 $B C$ 上，且满足 $\vec{A M} = \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}$ ．若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为 $n (n \in N^{*})$ 的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率 $p$ 传输记为0，以概率 $1 - p$ 传输记为1，其中 $0 < p < 1$ ，每位数码的传输相互独立，并设事件 $A_{n}$ 为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求 $P (A_{3})$ ；

(2)、证明：对任意的正整数 $n$ ，有 $P (A_{n}) = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n}}{2}$ ；

(3)、在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为 $B$ ，问： $P (B ∣ A_{n})$ 是否存在最大值？若存在，求出使 $P (B ∣ A_{n})$ 取到最大值的正整数 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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