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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) \cdot (a_{n + 1} - 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ .

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求证：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ .

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3、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .设 $n$ 为常数，当 $a$ 变化时， $n x_{1} + x_{2} + (n + 1)$ 有最小值 $e$ ，则常数 $n$ 的值为.

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 与公差 $d$ 均为正整数，且各项的和为49，则 $a_{1} =$ .

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5、设函数 $f (x) = x \ln x$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2} + x) + f (\frac{1}{2} - x) < 0$ B、当 $0 < x < \frac{1}{3}$ 时， $f (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) < f (x)$ C、当 $0 < x < \frac{1}{3}$ 时， $f (x) < f (\frac{2}{3} - x)$ D、当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ 时， ${|f (x_{1}) - f (x_{2})|}^{2} \leq |x_{1} - x_{2}|$

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6、如图， $△ A B D$ ， $△ B C E$ ， $△ A C F$ 所在的平面均与 $△ A B C$ 所在的平面垂直，且四个三角形边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（）

A、 $△ D E F$ 是边长为1的正三角形 B、平面 $A D F ⊥$ 平面 $A B C$ C、多面体 $A B C - D E F$ 的体积为 $\frac{9}{4}$ D、多面体 $A B C - D E F$ 的外接球的表面积为 $\frac{20}{3} π$

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7、已知直线 $l$ ： $x + m y - 4 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(4, 0)$ B、圆 $C$ 被 $x$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $m = 0$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 D、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交时，截得的最大弦长为 $2 \sqrt{3}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 0$ ， $|a_{n}| = |a_{n - 1} + 1|$ （ $n \geq 2$ ），则 $|S_{2024}|$ 可以是（）

A、42 B、46 C、50 D、54

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9、过点 $(a, b)$ 可作函数 $f (x) = \sin x$ ， $x \in (0, 2 π)$ 的三条切线，则下列结论可能成立的是（）

A、 $b > a$ B、 $b = f (a)$ C、 $f (a) < b < π - a$ D、 $a + b = π$

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10、已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点，抛物线的准线与 $x$ 轴交于点 $K$ ， $A$ 是抛物线上的一点，满足 $|A K| = \sqrt{2} |A F|$ .则 $△ A F K$ 的面积为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、16

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11、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、外离

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12、函数 $f (x) = \frac{1}{x \ln x}$ 的一个单调递减区间是（）

A、（e，+∞） B、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ C、（0， $\frac{1}{e}$ ） D、（ $\frac{1}{e}$ ， 1）

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13、定义：若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共定义域内存在 $x$ 使得 $f (x) + g (x) = 0$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为“契合函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{2}$ 和 $g (x) = e^{x + 1}$ 是否为“契合函数”；

(2)、若函数 $f (x) = ln x - 1$ 和 $g (x) = - x^{2} - a x + 1$ 不为“契合西数”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = \frac{1}{m} e^{x} + 1$ 和 $g (x) = \frac{sin x}{x} - 1 (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上为“契合函数”，求 $m$ 的取值范围．

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14、已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴， $y$ 轴，且过 $(0, - 1), (\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 两点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 4, 0)$ ，斜率不为0的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，点 $C (- 1, 1)$ ，直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于 $P$ ，与 $y$ 轴交于 $M$ ，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于 $Q$ ，与 $y$ 轴交于 $N$ ．若 $3 S_{△ C M N} = S_{△ C P Q}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），记 $b_{n} = a_{n} - 3^{n}$ ．

(1)、求证： $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2 n + 1}{b_{n}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若不等式 ${(- 1)}^{n} λ < S_{n} + \frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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16、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $△ B F C$ 是等边三角形， $E F // A B$ ， $E F = \frac{1}{2} A B$ ，且平面 $F B C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $E F ⊥ B F$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值.

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17、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A, P B, P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 2$ ．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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18、复数z满足 $z + 6 i = \bar{z}$ （ $i$ 为虚数单位），则z的虚部为.

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19、法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot |P N| = t (t > 0)$ ，其轨迹为 $C$ ．下列结论中，正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、原点始终在曲线 $C$ 的内部 C、当 $t = \sqrt{2}$ 时， $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $\frac{t}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = sinωxcos ω x + \sqrt{3} {cos}^{2} ω x （ ω > 0 ）$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、若函数 $f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则 $ω$ 的最小值为 $1$ C、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{6}]$ D、若 $ω = 1$ ，当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $f (x)$ 的所有零点的和为 $\frac{13 π}{3}$

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