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相关试卷

1、函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) (1 < x < 4)$ 的图象与 $x$ 轴交于点A，过点A的直线 $l$ 与函数的图象交于点 $B 、 C$ 两点，则 $(\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{O A} =$ （　　）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{25}{4}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、25

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2、如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体 $B C D E - H G J I$ 与直三棱柱 $A B H - F E I$ 的组合体，且 $△ A B H$ 为等腰直角三角形，则直线 $A H$ 与直线 $I G$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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3、已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则正四棱锥的侧面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $16 \sqrt{3}$ D、32

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4、如图，已知等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ 是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5、如图在△ABC， $\overset{⃑}{A N} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{N C}$ ， P是BN上的一点，若 $\overset{⃑}{A P} = m \overset{⃑}{A B} + \frac{2}{11} \overset{⃑}{A C}$ ，则实数m的值为（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、复数 $\frac{i}{2 - i} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$

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7、若 $\vec{a}$ ＝（1，2）， $\vec{b}$ ＝（x，4），若 $\vec{a}$ // $\vec{b}$ ，则实数x＝（　　）

A、8 B、－2 C、2 D、－8

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8、设非零向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k})$ ， $\vec{b_{k}} = (y_{k}, - x_{k})$ ，并定义 $\{\begin{array}{l} x_{k + 2} = \vec{a_{k + 1}} \cdot \vec{a_{k}} \\ y_{k + 2} = \vec{b_{k + 1}} \cdot \vec{a_{k}} \end{array}$ .

(1)、若 $\vec{a_{1}} = (2, - 1)$ ， $\vec{a_{2}} = (0, 2)$ ，求 $|\vec{a_{3}}|$ ；

(2)、写出 $|\vec{a_{k}}|$ ， $|\vec{a_{k + 1}}|$ ， $|\vec{a_{k + 2}}|$ 之间的等量关系，并证明；

(3)、若 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ 为单位向量，求证：集合 $\{\vec{a_{k}} | k \in N^{*}\}$ 是有限集.

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9、已知 $f (x) = \frac{k \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，且定义域为 $(- 1, 1)$ ， $g (x) = 4^{x} + t \cdot 2^{x + 1} + 1 - t$ .

(1)、求 $k$ 的值，判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(2)、若 $f (2 - a) > f (a^{2} - 4)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在两个不相等的实数 $m$ ， $n (m, n \in (- 1, 1))$ ，使 $f (m) + f (n) = 0$ ，且 $g (m) + g (n) \geq 0$ .求实数 $t$ 的取值范围.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 对应的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a (cos C + \sqrt{3} sin C) = b + c$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、当边 $B C$ 与边 $B C$ 上的中线长均为2时，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围.

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ 和 $B C$ 上的动点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B N} = μ \vec{B C} (λ, μ \in (0, 1))$ .

(1)、若 $λ = \frac{2}{3}$ ， $μ = \frac{1}{3}$ ，请用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A N}$ ；

(2)、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ， $A N$ 与 $D M$ 相交于点 $G$ ，求 $\frac{|\vec{A G}|}{|\vec{A N}|}$ 的值；

(3)、若 $λ + μ = 1$ ，求 $\vec{A N} \cdot \vec{D M}$ 的取值范围.

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12、已知复数 $z_{1} = 2 + (a - 1) i$ ， $z_{2} = 1 + i (a \in R)$ .

(1)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是实数，求 $a$ 的值；

(2)、若复数 $(z_{1} + z_{2}) \cdot \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $a$ 的取值范围.

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13、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $\frac{\sqrt{2}}{2} A B = A D = A A_{1} = 1$ ，点 $E$ 为线段 $A B_{1}$ 的中点，点 $G$ 是线段 $A C_{1}$ 上的一点，点 $F$ 是底面 $A B C D$ 内的一点，则 $G E + G F$ 的最小值为.

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14、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为.

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1 + \log_{2} (2 - x), x < 1 \\ 2^{x - 1}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos C + c cos B = a^{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $B + C = 3 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $π$ B、若 $A = \frac{π}{3}$ 且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、若 $C = 2 A$ 且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ 且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{12}$

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 是 $A B$ 中点， $N$ 是 $A A_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} D_{1}} (λ \in (0, 1))$ ，则下列命题正确的是（）

A、多面体 $M N Q B_{1}$ 的体积是随 $λ$ 的增大先减小后增大 B、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，面 $A C D_{1} //$ 面 $M Q N$ C、三棱台 $A M N - D C D_{1}$ 的体积为 $\frac{5}{24}$ D、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $M Q N$ 截该正方体所得截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, x - 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - \frac{2}{3}$ C、若 $x = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ D、若 $x = 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$

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19、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧.若在 $B$ ， $C$ 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且 $B C = 40$ ，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（）

A、 $1600 π$ B、 $\frac{1600 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{3200 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{32000}{3} π$

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20、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{3} + 2$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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