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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{11} = 110$ ， $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，则下列选项正确的是( )

A、 $a_{12} = a_{3} + a_{9} = 20$ B、 $d = - 2$ C、 $S_{n}$ 有最大值 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为21

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2、定理：如果函数 $f (x)$ 及 $g (x)$ 满足：①图像在闭区间 $[a, b]$ 上连续不断；②在开区间 $(a, b)$ 内可导；③对 $\forall x \in (a, b)$ ， $g^{'} (x) \neq 0$ ，那么在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ ，满足 $\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)}$ 成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ ，若存在正数 $a$ ， $b$ （ $a < b$ ），满足 $f (b) = λ ln \frac{b}{a} + f (a)$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{32}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ B、 $[- \frac{8}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$ C、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ D、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$

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3、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $F_{1}$ $F_{2}$ 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $4 (2 - \sqrt{3})$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{4}$

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5、函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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6、设 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知 $A (3, 1)$ ， $B (1, - 2)$ ， $C (1, 1)$ ，则过点 $C$ 且与线段 $A B$ 平行的直线方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 5 = 0$ B、 $3 x - 2 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $2 x + 3 y - 5 = 0$

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8、在复平面内，复数 $z = (2 - 5 i) (- 1 - 2 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 2 \ln x$ ， $g (x) = (1 - a) x^{2} + a x + 1 - f (x)$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)、若存在正数x，使 $g (x) \geq 0$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，证明：对任意的 $a \in (0, + \infty)$ ，存在唯一的实数 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ，使得 $g^{'} (x_{0}) =$ $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ 成立.

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10、小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的大小；

(2)、求概率 $P_{n}$ ， $P_{n - 1}$ ， $P_{n - 2}$ 满足的关系式；

(3)、记概率 $P_{n}$ 的值构成的数列为 $\{P_{n}\}$ （ $n \in N^{*}$ ），求 $P_{n}$ 的最大值与最小值.

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11、已知函数 $f (x) = \sin x + \ln (x + 1)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $e^{x} + f (x) \geq a x + 1$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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12、已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.

(1)、求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；

(2)、设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ .

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13、在五一小长假期间，要从5人中选出若干人在5天假期中值班（每天只需一人值班）.

(1)、若每人都只安排一天值班，要求甲不排在1号，乙不排在5号，求所有可能的安排方式种数.

(2)、若不出现同一人连续值班2天，求所有可能的安排方式种数；

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14、已知 $f (x)$ 是定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数，且满足 $f (x) + x f^{'} (x) = e^{x}$ ， $f^{'} (1) = 1$ ，则不等式 $f (x) \leq \log_{2} e$ 的解集是.

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15、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{y + 3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是.

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16、已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{3}) \sin x - \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ .

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17、食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件 $D_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（）

A、 $P (A | D_{1}) = \frac{1}{5}$ B、 $P (B) = \frac{2}{15}$ C、 $P (C) = \frac{3}{4}$ D、 $P (C | D_{3}) = 0$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x$ ，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的单调减区间为 $(- 1, 3)$ B、函数 $y = f (x)$ 的极小值是 $- 9$ C、函数 $y = f (x)$ 的图像有条切线方程为 $y = - 3 x - 1$ D、点 $(1, - \frac{11}{3})$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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19、已知 ${(3 x + 1)}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为324，若 ${(3 x + 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则（）

A、 $n = 9$ B、 $a_{4} = 10206$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 4^{n}$ D、当 $x = 4$ 时， ${(3 x + 1)}^{n}$ 被6除的余数为1

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20、某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（）

A、55 B、66 C、78 D、132

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