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相关试卷

1、点 $M$ 是直线 $2 x - y + 5 = 0$ 上的动点， $O$ 是坐标原点，则以 $O M$ 为直径的圆经过定点

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2、现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得1分，没有命中得 $- 1$ 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为．

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3、已知直线 $l_{1} : a x + (2 a - 1) y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - a y + 3 = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 的值为．

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4、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A_{1} A = 4$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $D B = D C$ ，则（）

A、直线 $B A_{1} / /$ 平面 $A C_{1} D$ B、点 $B$ 到平面 $A C_{1} D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、异面直线 $A B$ 与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{34}$ D、设 $M$ ， $N$ 分别在线段 $A_{1} B_{1}$ 和 $C_{1} D$ 上，且 $A_{1} M : A_{1} B_{1} = D N : D C_{1}$ ，则 $M N$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{437}}{23}$

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5、直线 $l : x sin θ - y + 3 = 0 (θ \in R)$ 的倾斜角可以为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6、已知直线 $l_{1} : m x - y = 0 (m \in R)$ 过定点 $A$ ，直线 $l_{2} : x + m y + 4 - 2 m = 0$ 过定点 $B, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为( )

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、5 D、10

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7、直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于M、N两点，则 $|\vec{M N}| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8、已知 $i$ 为虚数单位，定义 $x^{n} = 1$ 的解称为 $n$ 次单位根或单位根，这 $n$ 个单位根分别为 $ω_{i} = \cos \frac{2 k π}{n} + i \cdot \sin \frac{2 k π}{n}, (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$ ．复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记 $\vec{O Z_{1}}$ 对应的复数为 $z_{1} = r (\cos α + i \sin α)$ ，将 $\vec{O Z_{1}}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{2 k π}{n}$ 得到 $\vec{O Z_{2}}$ ，则 $\vec{O Z_{2}}$ 对应的复数为 $z_{2} = z_{1} ω_{i} = r [\cos (α + \frac{2 k π}{n}) + i \sin (α + \frac{2 k π}{n})]$ ．此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号．

(1)、方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数域上的两根为 $z_{1}, z_{2}$ ，将 $z_{1}, z_{2}$ 对应的向量 $\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到 $\vec{O Z_{3}}, \vec{O Z_{4}}$ ，记 $\vec{O Z_{3}}, \vec{O Z_{4}}$ 对应的复数为 $z_{3}, z_{4}$ ，请求出 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ （结果用代数形式表示）；

(2)、已知定义在整数集上的示性函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x = 3 k (k \in Z) \\ ω, x = 3 k + 1 (k \in Z) \\ ω^{2}, x = 3 k + 2 (k \in Z) \end{array} (ω = \cos \frac{2 π}{3} + i \cdot \sin \frac{2 π}{3})$ ，在复平面上的正三角形 $△ A B C$ 顶点 $A, B, C$ 三点分别对应的复数为 $α, β, γ$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \{0, 1, \dots, 9\}$ 使得 $f (x_{1}) α + f (x_{2}) β + f (x_{3}) γ = 0$ ，则称 $n = 100 x_{1} + 10 x_{2} + x_{3}$ 为正三角形数．若 $n$ 为正三角形数，求 $f (n)$ ；

(3)、一个圆环上系有 $n (n \geq 6)$ 个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到 $A, B$ 型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个 $A$ 型绳结的组数分别为 $a, b, c, d$ ，证明： $3 a + b - c - 3 d$ 是5的倍数．

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9、如图，已知四边形 $A B C D$ 满足 $A D = 2, B C = C D = 2 \sqrt{3}, A D ⊥ C D, A C ⊥ B C$ ，现将 $△ D A C$ 沿着 $A C$ 翻折得到 $△ P A C$ 形成四棱锥 $P - A B C D$ ，记二面角 $P - A C - D$ 的平面角大小为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，证明： $A P ⊥ P B$ ．

(2)、在线段 $A P$ 上是否存在一点 $E$ 使得 $D E //$ 平面 $P B C$ ，若存在，求出 $\frac{A E}{A P}$ ；若不存在，请说明理由．

(3)、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球球心为 $O$ ，二面角 $O - A P - C$ 和 $O - B C - A$ 的平面角大小分别为 $α, β$ ，求 $\tan^{2} α - \tan^{2} β$ （记 $λ = \sin θ$ ，结果用 $λ$ 表示）．

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10、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，其中 $A B = 2, A D = P D = \sqrt{3}, ∠ B A D = \frac{π}{6},$ $B D ⊥ A P, A B ⊥ P D$ ，

(1)、证明： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 的所成角的正弦值．

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11、宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 $x$ （千瓦时）：月用电量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 $[0, 100), [100, 200), \dots,$ $[600, 700)$ 分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中a的值以及所有样本的平均用电量；

(2)、宁波市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数，并说明理由：

(3)、宁波市政府希望使 $85 %$ 的居民每月的用电量不超过标准 $x$ （千瓦时），估计 $x$ 的值（保留整数），并说明理由．

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12、如图，已知圆台 $O O_{1}$ 的轴截面为等腰梯形 $A B B_{1} A_{1}$ ，满足 $A B = 4, A_{1} B_{1} = 2$ ，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ （不包括端点）上一点， $M$ 为线段 $B C$ 的中点，

(1)、证明： $B_{1} M //$ 平面 $A_{1} A C$ ；

(2)、若圆台 $O O_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ ，求圆台 $O O_{1}$ 的表面积．

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13、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B D_{1}$ 上运动，点 $E$ 在线段 $C_{1} D_{1}$ 上运动，点 $F$ 在底面 $A B C D$ 运动（含边界），则 $\sqrt{2} P F + P E$ 的最小值为．

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14、已知正四棱台的高为 $\frac{9}{4}$ ，上、下底面边长分别为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $2 \sqrt{3}$ ，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为．

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15、有一组数据： $5, 7, 2, 4, 11, 9$ 则这组数据的第 $40$ 百分位数为．

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16、如图，正四面体 $P - A B C$ 中， $M$ 是线段 $A B$ 上的动点， $N$ 是线段 $P C$ 上的动点，记 $B N$ 与平面 $P M C$ 的所成角为 $θ$ ， $B N$ 与 $A C$ 的夹角为 $φ$ ，平面 $P M C$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $β$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $θ \leq φ$ B、 $θ \leq β$ C、 $φ \leq β$ D、 $φ \geq β$

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17、亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（）

A、甲选手：平均数为8，众数为7 B、乙选手：平均数为9，方差为1 C、丙选手：中位数为7，众数为8 D、丁选手：中位数为9，极差为2

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18、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列结论正确的是（）

A、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ C、 $\bar{{(z_{1} + z_{2})}^{2}} = {(\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})}^{2}$ D、 ${|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 {|z_{1}|}^{2} + 2 {|z_{2}|}^{2}$

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19、体积为1的正四棱锥 $P - A B C D$ 的侧棱 $P A, P C, P D$ 上分别有三点 $E, F, G$ ，且 $E A = 2 P E, P F = F C,$ $P G = 3 G D$ ，则三棱锥 $B - E F G$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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20、如图，已知 $△ A B C$ 满足 $A B ⊥ A C, ∠ A C B = 30 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 为线段 $A C$ 上的动点，记 $∠ E D C = θ$ ．将四边形 $A B D E$ 沿着 $D E$ 翻折成几何体 $C - A_{1} B_{1} D E$ ，在翻折过程中，总存在某一个位置使得 $B_{1} C ⊥ E C$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ B、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})$ D、 $(\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3})$

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