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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{2}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．

(1)、求该考生恰好选到2所985高校的概率；

(2)、若该考生选到985高校的数量为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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3、已知 ${(x + a)}^{n} (n \in N^{*}, a > 0)$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729．

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ ， $g (x) = x - 2 ln x$ ，对于任意的 $t > 2$ ，存在 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 1$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ 成立，则 $\frac{ln t}{x_{2} - 2 x_{1}}$ 的最大值为．

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5、已知随机变量 $ξ \sim N (1, 2)$ ，则 $E (ξ) =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (a x - 1)}{x - 1} (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 有极大值，无极小值 B、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x)$ 有四个单调区间 C、若 $a = 1$ ，且 $g (x) = f (x) - m x + 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2 + \frac{2}{m}$ 成立 D、若 $a = 2$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{3}{2}, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立

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7、有大小、形状、质地完全相同的白色、黄色、蓝色小球各3个，红色小球1个，并且将这个红色小球命名为“幸运A9球”，现将这10个小球装在一个盒子里，依次任取3个小球，则下列说法正确的是（）

A、“幸运A9球”被选中的概率为 $\frac{3}{10}$ B、每次取后再放回，则第3次才取到“幸运A9球”的概率 $\frac{81}{1000}$ C、每次取后不放回，则第3次取到“幸运A9球”的概率最大 D、记事件 $A$ 为“幸运A9球”被选中，事件 $B$ 为“取得的3个小球不同色”，则 $P (A |B) = \frac{1}{2}$

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8、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 2) = P (X = 4)$ B、 $E (3 X + 2) = 8$ C、 $D (X) = \frac{4}{3}$ D、 $D (3 X + 2) = 6$

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9、已知函数 $f (x) = (2 x - a) {(x - 2 a)}^{2} - a^{2}$ 有两个零点，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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10、已知正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A$ 处有一质点 $P$ ，点 $P$ 每次随机沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，则点 $P$ 经过4次移动后仍回到顶点 $A$ 处的概率为（）

A、 $\frac{11}{81}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{27}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、 ${(x^{2} - x + y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为（）

A、60 B、20 C、-20 D、-60

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12、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、12 B、9 C、8 D、6

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13、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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14、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $b c < 0$ D、 $a b c < 0$

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15、下列结论正确的是（）

A、 ${(ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ B、 ${(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{'} = \frac{- 1}{2 x \sqrt{x}}$ C、 ${(cos x)}^{'} = sin x$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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16、已知集合 $M = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ， $N = {x ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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17、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} - x$ .

(1)、设 $a = 1, b = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为2的切线方程；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求b的取值范围.

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d$ .对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“关联点”.

(1)、如图1，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ .在点 $P_{1} (- 1 ， 0)$ ， $P_{2} (2 ， 8)$ ， $P_{3} (3 ， 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21} ， - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“关联点”是；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)

(2)、如图2，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中点 $D$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ . 若直线 $y = x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“关联点”，求 $b$ 的取值范围；

(3)、已知点 $M (1 ， 0)$ ， $N (0 ， \sqrt{3})$ . 图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心， $1$ 为半径的⊙ $T$ . 若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为⊙ $T$ 的“关联点”，求出 $t$ 的取值范围.

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19、如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ D A C$ 为等腰直角三角形， $D A = D C = \sqrt{2}$ ，将 $△ D A C$ 沿AC翻折到 $△ P A C$ 的位置，且点 $P$ 不在平面 $A B C$ 内（如图2），点 $F$ 为线段PB的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、当平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C B$ 时，求直线PB与平面 $A C F$ 所成角大小；

(3)、若直线PC与AB所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，设平面 $A C F$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $α$ ，求 $\cos α$ 的值．

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20、在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 4, 2)$ ；

(1)、若 $A C$ 边上的高 $B E$ 所在的直线方程为 $x - 3 y + 10 = 0$ ，求边 $A C$ 所在的直线方程；

(2)、若 $A B$ 边上的中线 $C F$ 所在直线方程为 $x + 2 y - 5 = 0, ∠ B$ 的平分线 $B D$ 所在的直线方程为 $y = 2 x$ ，求边 $B C$ 所在的直线方程；

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