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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 中的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 b \cos A - 2 a \cos B = c$ ．

(1)、证明： $A = B$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，且 $B C$ 边上的中线的长度为 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ ，求a的值．

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2、把 $y = \sin x$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，得到 $y = f (x)$ 的图象.

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, θ) (θ > 0)$ 上存在最小值，求 $θ$ 的取值范围.

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3、近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249.

(1)、求这5个数据的60%分位数及平均数；

(2)、从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率.

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ .

(1)、若 $x = 2$ ，求 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = ln (e x) - \frac{2}{x + 1}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}}$ 的最小值为.

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6、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 在复平面内对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且点 $A$ ， $B$ ， $C$ 连接后构成三角形.若复数 $z$ 满足 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}| = |z - z_{3}|$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点为 $△ A B C$ 的.（填“外心”“重心”或“垂心”）

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7、某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.3，0.2，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为.

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8、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $B D = D C$ ， $A D = B C = 2$ ，二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，记 $B C$ 的中点为 $T$ ，则（）

A、 $A B = A C$ B、 $A T \cdot D T \leq 4$ C、 $∠ A C D$ 可能为直角 D、若 $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ，则异面直线 $D B$ 与 $A T$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{19}}{19}$

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9、若 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x^{3} < y^{3}$ ”的一个充分不必要条件是（）

A、 $x < y$ B、 $lg (y - x) > 0$ C、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y} > 0$ D、 $e^{x} < e^{y}$

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10、下列命题为真命题的有（）

A、球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B、现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若直线 $m$ 上的三个点在平面 $α$ 内，则 $m \subset α$

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11、现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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12、江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附属建筑物，距今已有1000多年的历史，是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级数学实践小组为了测得其塔高，在 $A$ 点测得塔底 $D$ 位于北偏东 $60^{\circ}$ 方向上，塔顶 $C$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点60米的 $B$ 点测得塔底 $D$ 位于北偏西 $45^{\circ}$ 方向上（ $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（）（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

A、39米 B、46米 C、49米 D、52米

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A M} = 2 \vec{M D}$ ， $\vec{D N} = 3 \vec{N B}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{5}{12} \vec{b}$ B、 $\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{7}{12} \vec{b}$ C、 $\frac{5}{6} \vec{a} + \frac{7}{12} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{5}{12} \vec{b}$

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14、利用斜二侧画法画出 $△ O A C$ 的直观图如图阴影部分所示，其中 $O^{'} A^{'} = 2$ ， $S_{△ O^{'} C^{'} A^{'}} = \sqrt{2}$ ，则 $O C =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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15、某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（）

A、至少有1名男生与全是男生 B、至少有1名男生与全是女生 C、恰有1名男生与恰有2名男生 D、至少有1名男生与至少有1名女生

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16、复数 $z = i (3 - 2 i)$ 的实部与虚部之和为（）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、1 D、5

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17、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $A$ 到平面 $B D D_{1}$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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18、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 5}$ ， $B = \{- 5, - 4, 3, 6\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{- 5, - 4, 3\}$ B、 $\{- 5, - 4, 6\}$ C、 $\{- 4, 3, 6\}$ D、 $\{- 5, 3, 6\}$

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19、设定义域为 $R$ 的函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导，导函数为 $y = f^{'} (x)$ ．若区间 $I$ 及实数 $t$ 满足： $f (x + t) \geq t \cdot f^{'} (x)$ 对任意 $x \in I$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 为 $I$ 上的“ $M (t)$ 函数”．

(1)、判断 $y = x^{2} + 3 x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的 $M (1)$ 函数，说明理由；

(2)、若实数 $t$ 满足： $y = \sin x$ 为 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的 $M (t)$ 函数，求t的取值范围；

(3)、已知函数 $y = f (x)$ 存在最大值．求证：对任意正整数 $n, y = f (x)$ 都是 $R$ 上 $M (n)$ 的函数的充要条件是对任意 $x \in R, f^{'} (x) \leq 0$ 与 $f (x) \geq 0$ 恒成立

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20、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, \sqrt{2})$ .
（1）求椭圆 $M$ 的方程；
（2）若 $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $M$ 的上，下顶点，过点 $B$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $M$ 于另一点 $N$ （异于椭圆的右顶点），交 $x$ 轴于点 $P$ ，直线 $A N$ 与直线 $x = a$ 相交于点 $Q$ .求证：直线 $P Q$ 的斜率为定值.

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