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相关试卷

1、设函数 $f (x) = x^{2} -2 x + 3, x \in [0, 3]$ ，则该函数的值域为．

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2、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 的定义域为．

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3、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x - 12}$ 的单调递减区间为.

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4、已知集合 $A = \{1, 3, 6\}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5、定义：若对 $\forall k \in N^{*}, k \geq 2, a_{k - 1} + a_{k + 1} \leq 2 a_{k}$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”．

(1)、若 $a_{n} = \sqrt{n^{2} - 1}$ ，判断 $\{a_{n}\}$ 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”，则当 $m \geq n + 2 (m, n \in N^{*})$ 时， $a_{m} + a_{n} \leq a_{m - 1} + a_{n + 1}$ ．
（ⅰ）若数列 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} \geq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}$ （ $n$ 为常数且 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ），若 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}^{2} - 1} \geq \sqrt{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - λ)}^{2} - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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6、设函数 $f (x) = x^{2} + a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)、过坐标原点O作曲线 $y = f (x)$ 的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

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7、锐角 $△ A B C$ 中， $C = 2 B, B C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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9、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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11、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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13、一个箱子里有5个小球，分别以 $1 ~ 5$ 标号，（小球除标号外完全相同），现在有放回的抽取，观察抽取小球的标号，记 $p (n, m) (n \geq 1, 1 \leq m \leq 5)$ 表示在第 $n$ 次抽取后，前 $n$ 次的结果中出现 $m$ 种标号的概率，规定 $p (n, 0) = 0 (n \in N^{*})$ ， $p (n, m) = 0 (n < m)$ .记 $X_{n}$ 为第 $n$ 次抽取后出现的标号种类数（例如：抽取三次，小球标号分别是 $2$ ， $4$ ， $4$ ，则只有“2”“4”两种标号，于是 $n = 3$ ， $m = 2$ ， $X_{3} = 2$ ）

(1)、求 $p (1, 1)$ ， $p (2, 1)$ ， $p (2, 2)$ 及 $p (n, 1) (n \in N^{+})$ ；

(2)、求 $p (n, 2) (n \geq 2)$ ；

(3)、求 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ （用含有 $n$ 的式子表示）.

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14、已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{e^{x}} - 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并求出单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x) \geq - a + 3$ 恒成立.试求出 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ， $x_{1} = 1$ ，且 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，证明： $\frac{1}{f (x_{1}) \cdot f (x_{2})} + \frac{1}{f (x_{2}) \cdot f (x_{3})} + \dots + \frac{1}{f (x_{n + 1}) \cdot f (x_{n})}$ $< \frac{e}{4}$ .

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15、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，且过抛物线焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，弦长 $A B$ 最小值为4

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 作直线 $A C$ 交抛物线于点 $C$ ，且直线 $A C$ 过定点 $P (3, 0)$ ，连接直线 $C F$ 并交抛物线于点 $D$ ，请问直线 $B D$ 是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由.

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16、已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} (\cos x - \sin x), 2 \cos x)$ ， $\vec{n} = (\cos x + \sin x, \sin x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $f (B) = 1$ ， $b = 2$ 且 $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $\cos ∠ B D C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，当三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积取得最小值时，记 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin α =$ .

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18、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - y) = f (x) - f (y) - 1$ 且 $f (x)$ 是一个增函数，请写出满足条件的一个函数 $f (x) =$ .（写出一个即可）

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19、若 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数是（用数字作答）

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20、已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} - x + 4$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $C$ 与 $y = \sqrt{2 x}$ 的图象有且仅有一个交点 C、当 $x < 0$ 时，曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离均不超过 $\sqrt{5}$ D、曲线 $C$ 与直线 $x = 1$ ， $x = 2$ 围成图形的面积小于 $2 + \sqrt{10}$

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