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相关试卷

1、如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{13}}{26}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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2、将函数 $f (x) = \cos (2 x - φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 可能的取值为（）

A、 $- \frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $A = \frac{π}{3},cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, b = 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{15}$

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4、已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（）

A、 $54 \sqrt{3} π$ B、 $18 \sqrt{3} π$ C、 $18 \sqrt{2} π$ D、 $54 \sqrt{2} π$

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $\vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$

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6、若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = i^{2023}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5} i$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5} i$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足： $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = \frac{1}{2}, b_{2} = 5$ ，且 $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1} = 4 a_{n} + b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{n}, b_{n}$ ；

(2)、求集合 $M = \{x |x^{2} - (b_{n} + \frac{1}{a_{n}}) x + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 0, n \in N^{*}, n \leq 2 N, N \in N^{*}\}$ 中所有元素的和；

(3)、若集合 $S$ 中存在 $m (m \geq 2)$ 个不同元素 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2} \dots \cdot k_{m} \in S$ ，则称 $S$ 为 $m$ 类集合.试判断 $\{x ∣ x = 2^{b_{n}}, n \in N^{*}\}$ 是否为 $m$ 类集合.若是，求出所有 $m$ 的值；若不是，说明理由.

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过 $E$ 的右焦点，当 $△ O A B$ 面积最大时，求 $|A B|$ ；

(3)、若直线 $l$ 不过原点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，直线 $O M$ 与 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，已知 $P, Q, A, B$ 四点共圆，证明： $|A B| < 2 \sqrt{3}$ .

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9、如图， $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A C = B C = 2, D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折到某个位置得到 $△ P D E$ .

(1)、线段 $P B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $D M$ $∥$ 平面 $P C E$ ，并说明理由；

(2)、当 $P B = \sqrt{6}$ 时，求平面 $P B D$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值.

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10、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为0，求实数 $a$ 的值.

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11、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 b cos C = a cos C + c cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $a, b$ .

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项都为正整数， $a_{1} = 3, a_{12} = 2$ ，若 $\forall k \in N^{*}, (a_{3 k - 1} - a_{3 k - 2}) (a_{3 k - 1} - a_{3 k}) = 1$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{12}$ 的最小值为.

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13、已知 $A (- 4, 0), B (- 1, 0)$ ，若直线 $l : 3 x + 4 y + a = 0$ 上有且只有一点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则 $a =$ .

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14、已知 $sin \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin α =$ .

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15、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + a}$ ，则（）

A、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 是增函数 B、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(2, + \infty)$ C、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(0, 1)$ 对称 D、当 $a = 4$ 时， $\forall x \in R, f (k x + 1) + f (2 - x^{2}) < 2$ ，则 $- 2< k <2$

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16、下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $b^{2} < a b < a^{2}$ C、若 $a > b > 0, \frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ ，则 $m < 0$ D、若 $2 < a + b < 3, - 1 < a - b < 2$ ，则 $3 < 3 a + b < 8$

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17、在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间 $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（）

A、 $a = 0.015$ B、该100名学生成绩的众数约为75 C、该100名学生中成绩在 $[70, 90)$ 的人数为48 D、该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5

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18、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 在单位向量 $\vec{e}$ 上的投影向量均为 $3 \vec{e}$ ，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ ，当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角最大时， $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、8 B、5 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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19、在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E A_{1}}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F C_{1}}$ ，过点 $B, E, F$ 的平面截该正方体所得截面的周长为（）

A、 $4 \sqrt{13} + 3 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{13} + 3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{13} + 8 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{13} + 8 \sqrt{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 6 x + 5}$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $[5, + \infty)$

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