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相关试卷

1、设梯形 $A B C D$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，已知 $A B // C D$ ，且 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $D (3, \sqrt{3})$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的标准方程；

(2)、求梯形 $A B C D$ 的面积.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $P$ 关于原点 $O$ 对称的点为 $Q$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 2$ C、点 $P$ 的纵坐标 $y_{0}$ 满足 $|y_{0}| = \frac{1}{3}$ D、 $|P Q| = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$

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3、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，满足 $∠ B_{1} B C = ∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $|A B| = |B C| = 2$ ， $|B B_{1}| = 3$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{F E}$ ，并求 $E F$ 的长度；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E F$ 所成角的余弦值.

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4、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (p, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上，且 $|F M| = 3$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $N (5, - 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，求 $|A B|$ ．

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5、已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{4 x^{2} + 4} + 2 x) + x^{2025}$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 3 x - 7) + f (2 x - 3) < ln 4$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{5}{2}, 2)$ D、 $(- 2, \frac{5}{2})$

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6、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、3

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7、西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 $25 ° C$ 室温下，龙井用 $85 ° C$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ° C$ 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 $85 ° C$ 开始，经过 $x$ 分钟后的温度为 $y ° C$ 且满足 $y = k a^{x} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, x \geq 0)$ .

(1)、求常数 $k$ 的值；

(2)、经过测试可知 $a = 0.9227$ ，求在 $25 ° C$ 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ $($ 结果精确到 $1$ 分钟 $)$ (参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 7 \approx 0.8451, \lg 0.9227 \approx - 0.0349$ )

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8、已知 $cos (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = |{log}_{2} x|$ .若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $3 x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是．

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10、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $|A B| =$ ．

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11、关于实数 $x$ ，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲： $x > 2$ ；乙： $x < 4$ ；丙： $x > 3$ ．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则 $x$ 的取值范围可以为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(2, 3)$ D、 $[4, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} cos x, x < 0 \\ x^{2}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- \frac{π}{3}))$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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13、设 $a = 3^{0.1}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.5}$ ， $c = {log}_{3} 0.5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）.

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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14、为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本 $C (x)$ 万元，在年产量不足8万件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 3 x$ （万元）；在年产量不小于8万件时， $C (x) = 8 x + \frac{100}{x} - 37$ （万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润 $f (x)$ （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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15、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + (2 k + 5) x + k^{2}, f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, + \infty), x_{1} \neq x_{2}$ .

(1)、若 $k = - 1$ ，求 $\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}}$ 的值；

(2)、若 $x_{1} < 0, x_{2} < 0$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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16、若函数 $y = a x^{3} + 2 x^{2} + 1, x \in [- 1, b]$ 是偶函数，则 $a + b =$ .

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17、下列函数中，与函数 $y = x +2$ 是同一个函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x +2})}^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} +2$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x} +2$ D、 $y = t +2$

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18、函数 $f (x) = x^{2} + a x + 5$ ，对 $x \in R$ 恒有 $f (x) = f (- 4 - x)$ ，若 $x \in [m, 0] (m < 0)$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[1, 5]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, - 2]$ B、 $(- 4, 0)$ C、 $[- 4, 0]$ D、 $[- 2, 0]$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{a}{x}, x > 1 \\ x^{2} - 2 a x + \frac{5 a}{2}, x \leq 1 \end{matrix}$ ，满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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20、若非负数 $a, b$ 满足 $2 a + 1 + 2 b + 3 = 6$ ，则 $\frac{1}{2 a + 1} + \frac{1}{2 b + 3}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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