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相关试卷

1、平面直角坐标系中，点 $(\sqrt{6}, 1)$ 在以 $F_{1}, F_{2}$ 为左，右焦点的双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若不过 $F_{1}$ 的直线l与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ；
（i）设l的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，若 $k$ 为直线 $A F_{1}, B F_{1}$ 斜率的等差中项，求 $F_{2}$ 到l的距离 $d$ 的取值范围；
（ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求 $\frac{|A D|}{|B D|}$ 的最大值.

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2、已知 $△ A B C$ 满足三个条件：① $|A B| = 1$ ， ② $2 sin A = 2 sin B + cos 2 B$ ， ③________________.

(1)、若条件③是“ $△ A B C$ 是直角三角形”，求 $A$ ；

(2)、从下列选项中选择一个作为条件③，使满足条件的 $△ A B C$ 恰好有2个，并说明你的选择理由.
Ⅰ. $B = \frac{π}{5}$ ， Ⅱ. $B = \frac{2 π}{5} ，$ Ⅲ. $△ A B C$ 是等腰三角形.

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3、如图，棱长为 $3$ 的正方体的顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，三条棱 $A B ， A C ， A D$ 都在平面 $α$ 的同侧.

(1)、若平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成的二面角为 $30^{\circ}$ ，求顶点 $D$ 到平面 $α$ 的距离的最大值；

(2)、若顶点 $B ， C$ 到平面 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{2} ， \sqrt{3}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成锐二面角的余弦值.

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4、已知 $x, y, z \in N^{*}$ ，且 $x + y + z = 7$ ，记随机变量 $X$ 为 $x, y, z$ 中的最小值，则 $D (X) =$ .

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f (x + 1) - f (x - 1) \geq x$ 且 $f (x + 3) - f (x - 3) \leq 3 x$ .若 $f (1) = 1$ ，则 $f (49) =$ .

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6、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 焦点为 $F$ ，过 $F$ 向第一象限作射线 $F A$ ，过点 $A$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，切点为 $B$ ，且 $∠ F A B = 135 °$ ，则点 $A$ 的轨迹是的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）.

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7、（多选题）已知 $△ A B C$ 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ $R t △ A C D$ 和 $R t △ B C D$ ）组成的三角形，如下图所示，其中 $∠ A C D = 45 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ .现将 $R t △ A C D$ 沿斜边 $A C$ 进行翻折成 $△ D_{1} A C$ （ $D_{1}$ 不在平面 $A B C$ 上）.若 $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B D_{1}$ 的中点，则在 $△ A C D$ 翻折过程中，下列命题中正确的是（）

A、在线段 $B D$ 上存在一定点 $E$ ，使得 $A D_{1} / /$ 平面 $M N E$ B、存在某个位置，使得直线 $A D_{1} ⊥$ 平面 $B C D_{1}$ C、存在某个位置，使得直线 $A D_{1}$ 与 $D M$ 所成角为 $60 °$ D、对于任意位置，二面角 $D_{1} - B C - A$ 始终不小于直线 $A D_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角

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8、在平面直角坐标系中，曲线 $Γ$ 的方程为： $x^{2} y = x + y - y^{2}$ ，试判断下列说法中正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 与直线： $y = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 没有交点 B、存在垂直于x轴的直线与曲线 $Γ$ 没有交点 C、曲线 $Γ$ 与直线： $x + y + 3 = 0$ 有两个交点 D、曲线 $Γ$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = x + y$ 有三个交点

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9、随机事件A，B满足 $P (B) < P (A) < 1 ， P (A B) + P (A + B) = 1 ， P (\bar{A} B + \bar{B} A) = \sqrt{P^{2} (A) + P^{2} (B)} = \frac{5}{7}$ ，其中 $P (A) 和 P (B)$ 分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（）

A、 $P (A)$ = $\frac{3}{7}$ B、 $P (A B)$ = $\frac{1}{7}$ C、事件A与B不独立 D、 $P (B | A) = P (A + B)$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，记函数 $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，设函数 $F (x) = f^{- 1} (x) - f (x)$ 的极值点个数为c；当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \cdot \sin x \geq k x$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, c]$ B、 $[- c, 0)$ C、 $(- \infty, - c]$ D、 $(0, c]$

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11、在平面直角坐标系中，存在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $A (- \frac{1}{2}, 0)$ 和点 $B (0, \frac{1}{2})$ ， M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、 $2 |M A| - |M B|$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ B、 $2 |M A| + |M B|$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 |M A| - |M B|$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $2 |M A| + |M B|$ 的最小值为 $\sqrt{17}$

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12、在平面直角坐标系中有曲线 $C_{1} ： y = 2 + x^{2}$ 和 $C_{2} ： y = 2 x - 2 - x^{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相切于 $A, B$ ，直线 $l_{2}$ （不同于 $l_{1}$ ）与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相切于点 $C, D$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 交点的横坐标是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $\vec{M B} + \frac{3}{2} \vec{M A} + \frac{3}{2} \vec{M C} = \vec{0}$ ，若 $D$ 为 $A C$ 中点，则 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ B C D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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14、根据变量 $Y$ 和 $x$ 的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2}, \end{array}$ 得到经验回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则模型误差（）

A、满足一元线性回归模型的所有假设 B、只满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ 的假设 C、只满足一元线性回归模型的 $D (e) = σ^{2}$ 的假设 D、不满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ ， $D (e) = σ^{2}$ 的假设

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15、已知集合 $A = \{1 - i, \frac{1 - i}{1 + i}\}$ ， $B = \{i^{3} - i^{2}, \frac{1 + i}{1 - i}\}$ ，则集合 $C = A \cup B$ 中元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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17、已知函数 $f (x) = x - b \ln x$ ， $g (x) = \frac{a}{x} (a, b \in R)$ .

(1)、若 $b = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、令 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $x = 1$ 是 $h (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，若 $h (x) + \frac{2 a}{e} \geq 0$ 对 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18、如图，已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 B C = 2$ ， $△ P C D$ 是正三角形，O是 $C D$ 的中点，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(1)、证明： $B O ⊥ P A$ ；

(2)、求点D到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、已知点Q为线段 $C P$ 靠近C的三等分点，直线 $A Q$ 与平面 $P A B$ 所成角为 $α$ ，求 $\sin α$ .

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19、目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男
m
20

女
15
n

合计

100

(1)、求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关?

(2)、2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq α)$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$α$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |m \leq x \leq m + 2\}$ .

(1)、若 $m = 5$ ，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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$P (χ^{2} \geq α)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$α$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男	m	20
女	15	n
合计			100