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相关试卷

1、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的三等分点（ $A F = \frac{1}{3} A D$ ， $B G = \frac{1}{3} B C$ ），设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、若 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(2)、若 $|\vec{b}| = \frac{3}{2} |\vec{a}|$
① $\vec{E F}$ 与 $\vec{E G}$ 夹角余弦值；
②判断四边形 $E F C G$ 的形状，并说明理由.

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2、已知正四面体的棱长为 $a$ ，球 $O_{1}$ 与正四面体六条棱相切，球 $O_{2}$ 与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 $\frac{V_{O_{1}}}{V_{O_{2}}} =$ ．

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3、从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是.

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4、一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为 $a$ ，第三四分位数为 $b$ ，则 $a + b =$ ；

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 最大值为3 C、若 $λ \vec{a} + \vec{b} = 0$ ，则 $λ = - 2$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$

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6、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{3 + 2 i}{2 - i}$ ，则（）

A、 $\bar{z} = \frac{7 - 4 i}{5}$ B、 $z$ 的虚部为 $\frac{7}{5}$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{13}{5}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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7、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象如图所示，则 $f (0)$ 的值为（）

A、1 B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 $A$ ， “骰子向上的点数大于4”为事件 $B$ ，则事件 $A$ ， $B$ 中至少有一个发生的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（）

A、数据中可能存在极端大的值 B、这组数据是不对称的 C、数据中众数一定不等于中位数 D、数据的平均数大于中位数

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10、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 4$ D、4

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11、若 $(1 + 2 i) \bar{z} = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - i$

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{b} + \vec{c})$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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13、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B D$ 是等边三角形， $B D ⊥ D C$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ D B C = 60^{\circ}$ ， $E$ ， $F$ 分别 $A D$ ， $D C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $A D C$ ；

(2)、求二面角 $E - B F - D$ 的余弦值.

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14、 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $A B = 6 ， B D = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆的半径.

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15、（1）已知 $m \in R$ ，复数 $z = (2 m^{2} - 3 m + 1) + (3 m^{2} - 4 m + 1) i$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；
（2）已知 $x ， y \in R$ ，设 $\frac{x + 11 i}{2 + i} = 3 + y i （ i$ 是虚数单位），求 $|x + y i|$ .

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，若 $|3 \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{31}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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17、在单位圆上有三点 $A, B, C$ ，设 $△ A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$ ，则 $\frac{a + b + c}{sin A + sin B + sin C} =$ .

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18、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x - 2 \sqrt{3} {sin}^{2} x + \sqrt{3}$ ，则（）.

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 C、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $m < f (x)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1)$ D、将函数 $f (x)$ 的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x \in [0, t]$ 时，函数 $g (x)$ 有且仅有5个零点，则实数 $t$ 的取值范围为 $[\frac{13 π}{12}, \frac{4 π}{3})$

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $C_{1} B$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的表面积为 $4 π$ B、 $A_{1} D ⊥ A P$ C、三棱锥 $D_{1} - A C P$ 的体积随着 $P$ 的变化而变化 D、存在点 $P$ ，使得 $E P ⊥$ 平面 $B D C_{1}$

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20、若 $f (x) = \sqrt{2} \cos x (x \in (0, π)$ 的图象与函数 $y = \tan x$ 的图象交于A，B两点，则 $△ O A B$ (O为坐标原点)的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$

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