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相关试卷

1、直线 $l_{1} : 2 x - (a + 1) y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : a x - y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ ．

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2、某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在 $[50, 150]$ 内，将所得的数据分成4组： $[50, 75), [75, 100), [100, 125), [125, 150],$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求a的值以及自习时间在 $[100, 150]$ 内的学生人数；

(2)、估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(3)、从 $[100, 125)$ 和 $[125, 150]$ 用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在 $[125, 150]$ 内的概率.

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3、已知圆台上、下底面面积分别是 $π$ 、 $9 π$ ，其侧面积是 $12π$ ，则该圆台的体积是（）

A、 $\frac{13 \sqrt{5}}{3} π$ B、 $\frac{13 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $4 \sqrt{5} π$ D、 $13 \sqrt{3} π$

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D ⊥ D C_{1}$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2 \sqrt{2}, A B ⊥ A C$ ，二面角 $C - A C_{1} - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ．
①求 $A C$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；
②点 $E$ 在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 内，且三棱锥 $E - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求 $E$ 的轨迹的长度．

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5、已知命题 $p$ ： $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 1 > 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$

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6、已知 $α \in (0, π)$ ，且 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{2 π}{3} - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7、若 $f (x) = - 2 x^{2} - (2 k + 1) x + 3$ 在 $[- 1, 2]$ 上是单调函数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{9}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{9}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{9}{2}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m x$ （ $e$ 为自然对数的底数），若 $f (x) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，直线 $l^{'} : 4 x - 3 y + 11 = 0$ ，点 $P$ 到直线 $l^{'}$ 的距离与到直线 $l$ 的距离之和的最小值是.

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} - m x^{2}, x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 3$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减 C、过点 $(1, - 2)$ 能作两条不同的直线与 $y = f (x)$ 相切 D、函数 $y = f [f (x)] + 2$ 有5个零点

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 5}{x - 2} < 0\}$ ， $B = \{x |a - 1 < x < a + 1, a \in R\}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $∁_{U} A$ ， $A \cap ∁_{U} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知 $y = f (x)$ 为定义在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，且 $f (a + 1) < f (1 - 4 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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13、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 1\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 2\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |0 \leq x \leq 2\}$

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14、已知函数 $f (x) = a ln x - x^{2}$ ， $g (x) = (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $f (x) + x^{2} - x \leq - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值．

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，且当 $n$ 为奇数时， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ；当 $n$ 为偶数时， $a_{n + 1} = 2 a_{n - 1}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

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16、已知正四棱锥 $M - A B C D$ 的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为，此时其外接球表面积为.

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17、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数为.（用数字作答）

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18、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{3}{4}$ D、阴影区域的面积大于4

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19、下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）

A、 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + \dots + C_{10}^{3} = 330$ B、设 $x = A_{90}^{90} \times (\frac{2}{A_{3}^{3}} + \frac{3}{A_{4}^{4}} + \frac{4}{A_{5}^{5}} \dots + \frac{89}{A_{90}^{90}})$ ，则 $x$ 的个位数字是6 C、已知 $n > m$ ，则等式 $\frac{C_{n}^{m}}{m + 1} = \frac{C_{n + 1}^{m + 1}}{n + 1}$ 对任意正整数 $n$ ， $m$ 都成立 D、等式 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ 对任意正整数 $n$ 都成立

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20、已知函数 $f (x) = - 4 \cos x \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列说法正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{4 π}{3}, \frac{19 π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $y = f (x) + \frac{3}{2}$ 在 $[0, π]$ 上有3个零点

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