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相关试卷

1、著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程 $x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0$ ，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”（如图），它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是（）

A、曲线C过点 $(\frac{3 a}{2}, \frac{3 a}{2})$ B、曲线C关于 $y = x$ 对称 C、若 $a = 2$ ，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3 D、若 $a = 2$ ，曲线C上任一点 $(x, y)$ 均满足 $- 2 < x + y \leq 6$

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2、有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数 $x$ ， $y$ 构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（）

A、若平均数不变，则 $x + y = 6$ B、若极差不变，则 $x + y = 6$ C、若 $x + y = 6$ ，则中位数不变 D、若 $x + y = 6$ ，则方差不变

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3、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是一块石材，测量得 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $A A_{1} = 13$ ．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ ， 4 B、 $\frac{9 π}{2}$ ， 3 C、 $6 π$ ， 4 D、 $\frac{32 π}{3}$ ， 3

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4、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \sin 2 x$ 与 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的交点个数为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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5、 $(\sqrt{x} - 2) {(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、 $- 60$ B、 $- 20$ C、20 D、60

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (- 1, x),$ 若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b} .$ 则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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7、若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i + z = 0$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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8、若a＞b，c＞d，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、a－c＞b－d C、a－d＞b－c D、ac＞bd

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9、已知函数 $f (x) = 2 x \ln x - x^{2} + 1$ .

(1)、证明： $f (x) < 1$ ；

(2)、证明： $f (x)$ 在上 $(0, + \infty)$ 单调递减；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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10、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆 $E$ 过点 $A (2 ， 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知 $P$ 为 $A B$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意的 $k (k \neq 0)$ 都有 $\vec{O P} ⊥ \vec{C Q}$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标：若不存在说明理由．

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11、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点.过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 所在曲线的方程为，直线 $O H$ 斜率的最大值为.

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12、已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}$ ， $O$ 为底面圆心， $P A$ ， $P B$ 为圆锥的母线， $∠ A O B = 120 °$ ，若 $△ P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为.

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13、已知 $\frac{π}{4} \leq α \leq π ， π \leq β \leq \frac{3 π}{2} ， sin 2 α = \frac{4}{5} ， cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $cos 2 α = \frac{3}{5}$ B、 $sin α - cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $sin (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $β - α = \frac{3 π}{4}$

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14、 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{5} y^{2}$ 的系数为

A、10 B、20 C、30 D、60

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15、甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在第1位，且甲或乙在第4位的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、已知 $\log_{4} 5 = a$ ， $\log_{25} 2 = b$ ，则 $a b =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为R，求a的取值范围；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) > x - 3$ 的解集．

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18、将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元?

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19、设集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 >0\}, B = \{x | - 4 < 3 x - 7 <8\}$ .
(1)求 $A \cup B, A \cap B$ ；
(2)已知集合 $C = \{x | a < x <2 a + 1\}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是增函数.

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