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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P A B = 120 °, P A = A B, G$ 为 $△ P A B$ 的重心．

(1)、若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，求证： $G E ∥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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2、已知 ${(1 + \sqrt{x})}^{n}$ 展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{2}$ 的系数．

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3、已知函数 $f (x) = x - ln (x + 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：对 $\forall x \in [0, + \infty), f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2}$ .

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4、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，直线 $y = k (x + \frac{9}{5})$ 与曲线 $f (x)$ 有三个不同的交点，则 $k$ 的取值范围为．

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5、利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为．

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6、若 $C_{n}^{2} = 21$ ，则 $n =$ ．

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7、已知 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R, f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (2024) = f (1)$ D、 $f (2024) = f (2)$

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8、下列等式正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$ B、 $C_{n}^{m} = \frac{n + 1}{m + 1} C_{n + 1}^{m + 1}$ C、 $A_{n + 1}^{n + 1} - A_{n}^{n} = n^{2} A_{n - 1}^{n - 1}$ D、 $\frac{(n + 1)!}{k!} - \frac{n!}{(k - 1)!} = \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k!} (k \leq n)$

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9、投掷一枚质地均匀的骰子，事件 $A =$ “朝上一面点数为偶数”，事件 $B =$ “朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A, B$ 互斥 B、事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$

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10、一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{1}$ ，期望方差分别为 $E (X_{1}), D (X_{1})$ ；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2}), D (X_{2})$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ C、 $E (X_{1}) > E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $E (X_{1}) < E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$

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11、若 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - 4 x$ 的一个极值点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = e^{3 - x} - 2 x + 2$ 的一个零点，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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12、定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（）

A、18 B、21 C、35 D、36

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13、函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A、 $a < 0, b < 0, c < 0, d > 0$ B、 $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$ C、 $a < 0, b > 0, c < 0, d > 0$ D、 $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$

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14、苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知 $lg 5 \approx 0.699$ ，则 $2^{24}$ 是（）

A、5位数 B、6位数 C、7位数 D、8位数

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15、已知 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ，则使 $f (x) < f (- 3 x^{2} + 4)$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{4}{3})$ C、 $(- \infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (1, + \infty)$

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16、一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为 $X$ ，则 $P (X = 1) =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{5}{14}$

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17、函数 $f (x) = \ln (2 - x)$ 的定义域是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$

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18、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, - \cos x), \vec{b} = (\cos x, \cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $x \in (0, π)$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = \frac{1}{2}$ 且 $b = \sqrt{3}$ .求 $a + c$ 的取值范围．

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19、金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形．

(1)、证明： $A E ∥$ 平面CDF；

(2)、证明：四棱锥 $E - A B C D$ 是正四棱锥；

(3)、试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

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20、某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：
10.1
9.8
10.0
9.7
10.0
9.8
经计算得 $\frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 98.03$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的评分， $i = 1, 2, 3, \dots, 6$ ．

(1)、求这组样本平均数和方差；

(2)、从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率；

(3)、若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由．

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