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相关试卷

1、如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 $2 \sqrt{6}$ ，则模型中九个球的体积和为.

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2、4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有种排法．

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3、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 5, \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - 3$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| =$ .

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4、已知函数 $f (x) = \ln | e x | - x + \frac{1 - x}{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ B、 $f (x)$ 恰有2个零点 C、 $f (x)$ 既有最大值，又有最小值 D、若 $x_{1} x_{2} > 0$ 且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ B、 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递减 C、 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、存在实数 $x$ 满足 $f (x + 2) + f (- x) = 0$

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6、如图所示，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是 $F_{1} B$ 的中点，且 $F_{1} B ⊥ F_{2} B$ ，则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则 $f (1) + f (4)$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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8、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} = 3 a_{11}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{9}{8}$

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9、5名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项比赛无并列冠军），则不同的结果种数为（）

A、 $5^{3}$ B、 $3^{5}$ C、 $A_{5}^{3}$ D、 $C_{5}^{3}$

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10、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（）

A、 $6 x - 2 y + 3 = 0$ B、 $x + 3 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 2 y + 3 = 0$ D、 $x - 3 y - 1 = 0$

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11、已知 $z = \frac{2 i - 4}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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12、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})$ .当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)、求 $sh (x)$ 与 $ch (x)$ 的导数；

(2)、证明： $sh (x) \geq x$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 上恒成立；

(3)、求 $f (x) = sh (x) - \sin x - \frac{1}{3} x^{3}$ 的零点.

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13、如图，在斜坐标系 $x O y$ 中， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $60 °$ ，定义向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ 在该斜坐标系 $x O y$ 中的坐标为有序数对 $(x, y)$ ，记为 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} = (x, y)$ .在斜坐标系 $x O y$ 中，完成如下问题：

(1)、若斜坐标系 $x O y$ 中 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (5, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若斜坐标系 $x O y$ 中 $\vec{m} = (4, - 5)$ ， $\vec{n} = (- 2, 3)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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14、五面体 $A B C - A_{1} D C_{1}$ 为直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去一个三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C_{1}$ 后得到的几何体， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A_{1} D$ 的中点.点 $E$ 满足 $\vec{C_{1} E} = λ \vec{C_{1} D}$ $(0 \leq λ \leq 1)$ 上.

(1)、若 $B F ⊥ C E$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $P$ 是线段 $A C$ 的中点，求平面 $A B C$ 与平面 $P B F$ 夹角的正弦值.

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15、由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
性别
保护动物意识
合计
强
弱
男性
30
70
100
女性
60
40
100
合计
90
110
200

(1)、根据以上数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？

(2)、将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为 $X$ ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 $X$ 的分布列和数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16、若数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前99项和 $T_{99}$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 在第一象限的交点为 $P$ ，椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ， $\vec{O P}$ 在 $\vec{O F}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{5}}{2} \vec{O F}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为；双曲线 $E$ 的渐近线方程为.

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18、函数 $f (x) = x + \frac{5}{x} + 2$ 的所有极值之和为.

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19、经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间 $x$ 与数学成绩 $y$ 进行数据收集如表：
$x$
15
16
18
19
22
$y$
102
98
115
$m$
120
若由表中样本数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 3.1 x + 54.2$ ，则实数 $m =$ .

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20、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{3} = x^{2} y^{2}$ 就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于坐标原点对称 B、曲线 $C$ 上的点到原点的最大距离为 $\frac{1}{2}$ C、四叶草曲线 $C$ 所围的区域面积大于 $\frac{π}{4}$ D、四叶草曲线 $C$ 恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

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性别	保护动物意识		合计
性别	强	弱	合计
男性	30	70	100
女性	60	40	100
合计	90	110	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	15	16	18	19	22
$y$	102	98	115	$m$	120