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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为 $\sqrt{5}$ 的等腰三角形，点 $M$ 为 $△ P C D$ 的重心.

(1)、求证： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、经过点 $M$ 及直线 $A B$ 作截四棱锥的截面 $α$ ，设截面 $α \cap$ 平面 $P C D = l$ ，请画出直线 $l$ ，判断直线 $l$ 与平面 $P A B$ 的位置关系，并进行证明；

(3)、求二面角 $C - P B - D$ 的余弦值.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3, a_{11} = 3 a_{4}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} + S_{2^{n}}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、如图所示，过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 2 a$ ，双曲线的离心率为 $e, [x_{0}]$ 表示不超过 $x_{0}$ 的最大整数，则 $[e^{2}]$ 的值为.

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4、四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心 $O$ 为的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A D = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，设 $M, N$ 分别是 $P D, C D$ 的中点，则平面 $A M N$ 截球 $O$ 所得截面的面积为.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n} + n, n 为奇数 \\ a_{n} - 2 n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的（）

A、数列 $\{a_{2 n} - 2\}$ 是等比数列 B、 $a_{2 n - 1} = 6 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1} - 4 n$ C、 $S_{8} < - 11$ D、当 $n \geq 2$ 时，数列 $\{S_{2 n}\}$ 是单调递减数列

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，左焦点为 $F, M$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的一点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ，交 $x$ 轴于点 $T$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使 $∠ A M B = 120^{\circ}$ B、 $\vec{T A} \cdot \vec{T B} = 2 \vec{T M} \cdot \vec{T N}$ C、 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $△ F M N$ 周长的最大值为8

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、函数 $f (x) g (x)$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于原点对称 D、 $g (2 x) = {[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2}$

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8、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x + 1$ ，函数 $g (x) = a e^{x} - x + ln a$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{e})$

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9、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，且满足 $2 A M + A N = 1$ ，设 $\overset{⃑}{A C} = x \overset{⃑}{A M} + y \overset{⃑}{A N}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

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10、已知 $α, β$ 均为锐角，且 $cos α = \frac{4}{5}, tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ .则 $cos β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{50}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$

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11、已知事件 $A$ 发生的概率为0.4，事件 $B$ 发生的概率为0.5，若在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率为0.6，则在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率为（）

A、0.85 B、0.8 C、0.75 D、0.7

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12、已知 $f (x) = cos (sin x)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + \frac{π}{2})$ B、 $f (x)$ 关于 $(\frac{π}{2}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$

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13、如图， $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $|P F| = 8$ ，则 $△ P O F$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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14、已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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15、已知函数 $f (x) = (1 + k) ln (1 + x)$ .

(1)、当 $k = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 的切线方程；

(2)、设 $F (x) = f (x) - x - 2$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的最大值为 $G (k)$ ，求 $G (k)$ ，并判断函数 $G (k)$ 的零点个数.

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16、已知椭圆与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有一个相同的焦点 $F_{2} (1, 0)$ ，椭圆的长轴长为2p．

(1)、求椭圆与抛物线的方程；

(2)、P为抛物线上一点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，直线 $P F_{1}$ 交椭圆于A，B两点，直线 $P F_{2}$ 与抛物线交于P，Q两点，求 $\frac{|A B|}{|P Q|}$ 的最大值．

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17、数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} S_{n} - a_{n}^{2} = 1$
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{2}{4 S_{n}^{4} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并求使 $T_{n} > \frac{1}{6} (m^{2} - 3 m)$ 对所有的 $n \in N *$ 都成立的最大正整数m的值．

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18、“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子•离娄章句上》．“规”指圆规，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较短边为5cm，如图所示，三角形顶点A，B，C都在圆周上，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $c = 4 \sqrt{5}$ cm．

(1)、求 $sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为8cm² ，且 $a > c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、在二项式 ${(x + \frac{1}{a \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 展开式中，前三项的二项式系数之和为79.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{128}$ ，求实数 $a$ 的值.

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20、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x + 4)$ ， $f (2024) = \frac{1}{e^{2}}$ ，若 $f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x + 2) > e^{x}$ 的解集为.

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